「不等号」について
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私立 東京都市大学 2014年 第2問次の問に答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．
(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．
私立 東京都市大学 2014年 第3問次の問に答えよ．
(1)点$(-p,\ 0)$（ただし，$p>0$）から放物線$y^2=4x$に引いた，傾きが負の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線と，$x$軸および放物線$y^2=4x$で囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{16}{3}$となるときの$p$の値を求めよ．
(1)点$(-p,\ 0)$（ただし，$p>0$）から放物線$y^2=4x$に引いた，傾きが負の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線と，$x$軸および放物線$y^2=4x$で囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{16}{3}$となるときの$p$の値を求めよ．
私立 東京都市大学 2014年 第3問$0 \leqq x \leqq 2\pi$を定義域とする関数$f(x)=e^{ax} \sin x$が$\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}$で極値をとるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
私立 東京都市大学 2014年 第4問楕円$x^2+3y^2=2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$C_2$との$4$つの交点の座標は，$(p,\ q)$，$(-p,\ q)$，$(-p,\ -q)$，$(p,\ -q)$と表される．$p,\ q$を求めよ．ただし，$p>0$，$q>0$とする．
(3)楕円$C_1$で囲まれた図形のうち，$0 \leqq x \leqq p$となる部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(2)$で求めたものとする．
(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$C_2$との$4$つの交点の座標は，$(p,\ q)$，$(-p,\ q)$，$(-p,\ -q)$，$(p,\ -q)$と表される．$p,\ q$を求めよ．ただし，$p>0$，$q>0$とする．
(3)楕円$C_1$で囲まれた図形のうち，$0 \leqq x \leqq p$となる部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(2)$で求めたものとする．
私立 東京都市大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{4}$であるとする．$\cos 2\theta,\ \cos 3\theta$の値を求めよ．
(2)$x$軸に接し，点$(3,\ 4)$を通る円の中心が描く軌跡の方程式を求めよ．
(3)硬貨を$3$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数より多いのは，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目表となる場合と，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目裏となる場合の$2$通りである．硬貨を$5$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数よりも多く，最終的に表が$3$回出る確率を求めよ．
(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{4}$であるとする．$\cos 2\theta,\ \cos 3\theta$の値を求めよ．
(2)$x$軸に接し，点$(3,\ 4)$を通る円の中心が描く軌跡の方程式を求めよ．
(3)硬貨を$3$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数より多いのは，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目表となる場合と，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目裏となる場合の$2$通りである．硬貨を$5$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数よりも多く，最終的に表が$3$回出る確率を求めよ．
私立 東京都市大学 2014年 第3問$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)任意の$n$に対し，不等式$n! \geqq 2^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．
(2)$n \geqq 4$のとき，不等式
\[ 1.7<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}<2 \]
が成り立つことを示せ．
(1)任意の$n$に対し，不等式$n! \geqq 2^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．
(2)$n \geqq 4$のとき，不等式
\[ 1.7<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}<2 \]
が成り立つことを示せ．
私立 東京都市大学 2014年 第4問$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第3問関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第3問関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．