「不等号」について
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私立 北里大学 2014年 第5問$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$で定める．
(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．
(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる数を求めよ．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=[ア]$，$\tan (\alpha-\beta)=[イ]$，$\sin (2\alpha+\beta)=[ウ]$となる．
(2)整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$[エ]$で，$x^2-1$で割った余りは$[オ]x+[カ]$である．
(3)$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$[キ]$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$[ク]$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$[ケ]$通りである．
(4)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$[コ]$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[サ]$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=[シ] \overrightarrow{b}+[ス] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[セ] \overrightarrow{b}+[ソ] \overrightarrow{c}$と表せる．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=[ア]$，$\tan (\alpha-\beta)=[イ]$，$\sin (2\alpha+\beta)=[ウ]$となる．
(2)整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$[エ]$で，$x^2-1$で割った余りは$[オ]x+[カ]$である．
(3)$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$[キ]$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$[ク]$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$[ケ]$通りである．
(4)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$[コ]$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[サ]$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=[シ] \overrightarrow{b}+[ス] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[セ] \overrightarrow{b}+[ソ] \overrightarrow{c}$と表せる．
私立 南山大学 2014年 第2問$a>0$とし，関数$f(x)=x^3-3ax^2+2a^3+2a+1$を考える．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．
私立 名城大学 2014年 第1問次の問について，答えを$[ ]$に記入せよ．
(1)$x^2-6x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}=[イ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字を重複せずに使って整数を作るとき，$4$桁の整数は$[ウ]$個，$2000$より大きな$4$桁の整数は$[エ]$個ある．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\cos \theta+\sin \theta=[オ]$であり，$\cos 2\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とするとき，${12}^{2014}$は$[キ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{10}$は小数第$[ク]$位に初めて$0$でない数字が現れる．
(1)$x^2-6x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}=[イ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字を重複せずに使って整数を作るとき，$4$桁の整数は$[ウ]$個，$2000$より大きな$4$桁の整数は$[エ]$個ある．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\cos \theta+\sin \theta=[オ]$であり，$\cos 2\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とするとき，${12}^{2014}$は$[キ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{10}$は小数第$[ク]$位に初めて$0$でない数字が現れる．
私立 名城大学 2014年 第4問$xy$平面上に，放物線$C_1:y=x^2-1$，$C_2:y=x^2$がある．$C_1$上を動く点$\mathrm{P}(p,\ p^2-1)$から$C_2$に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{Q}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{R}(\beta,\ \beta^2) (\alpha<\beta)$とする．さらに，$C_2$と$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$S$は$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示し，その値を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$S$は$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示し，その値を求めよ．
私立 東京理科大学 2014年 第5問座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．
(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．
私立 東京医科大学 2014年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば
\[ M=\frac{[アイ]}{[ウ]},\quad m=\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば
\[ \alpha=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば
\[ \beta=\frac{[クケ]}{[コ]} \]
である．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば
\[ M=\frac{[アイ]}{[ウ]},\quad m=\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば
\[ \alpha=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば
\[ \beta=\frac{[クケ]}{[コ]} \]
である．
私立 東京医科大学 2014年 第4問座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．
(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．
(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．
私立 日本獣医生命科学大学 2014年 第4問$0 \leqq x<2 \pi$のとき$f(x)=\cos^2 x+\sin x-1$の最大値とそのときの$x$の値，最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 東京都市大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$a$を正の実数とするとき，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10} \frac{x}{a} \right)(\log_{10}ax)=\log_{10}a$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(2)媒介変数$t$を用いて半直線が$\left\{ \begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+3t
\end{array} \right. (t \geqq 0)$と表されている．$xy$平面上の点$(3,\ 0)$との距離が最小となるような，半直線上の点の座標を求めよ．
(3)袋の中に$10$個の球があり，そのうち赤球は$x$個，白球は$(10-x)$個である．この袋から球を同時に$3$個取り出す．$3$個とも赤球である確率が$\displaystyle \frac{1}{30}$であるときの$x$の値を求めよ．
(1)$a$を正の実数とするとき，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10} \frac{x}{a} \right)(\log_{10}ax)=\log_{10}a$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(2)媒介変数$t$を用いて半直線が$\left\{ \begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+3t
\end{array} \right. (t \geqq 0)$と表されている．$xy$平面上の点$(3,\ 0)$との距離が最小となるような，半直線上の点の座標を求めよ．
(3)袋の中に$10$個の球があり，そのうち赤球は$x$個，白球は$(10-x)$個である．この袋から球を同時に$3$個取り出す．$3$個とも赤球である確率が$\displaystyle \frac{1}{30}$であるときの$x$の値を求めよ．