$\displaystyle x=\sin \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right)$とする．次の各問に答えよ．

(1)$[ア] \leqq x \leqq \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．

(2)$\sin \theta \cos 2\theta$を$x$で表すと，$x([エ]-[オ]x^2)$となる．

(3)$\sin \theta \cos 2\theta$は$\displaystyle \sin \theta=\frac{[カ]}{\sqrt{[キ]}}$のとき，最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$をとる．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．

(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．

実数$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha,\ \beta$の大きいか等しい方を$\max \{\alpha,\ \beta\}$で表す．例えば，$\max \{1,\ 2\}=2$，$\max \{3,\ 3\}=3$である．$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ x,\ \frac{1}{2}(1-x) \right\}$とすると，
$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{[フ]}{[ヘ]}$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x)$，
$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}<x \leqq 1$のとき \quad $f(x)=x$

である．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$で$f(x)=\max \{\sin x,\ \cos x\}$とすると，
$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ミ]}{[ム]} \pi$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\sin x$，

それ以外の$x$では \quad $f(x)=\cos x$
である．
(3)$f(x)=\max \{2x^2-3x+a,\ -x^2+5x\}$とする．
$0 \leqq x \leqq 1$で$f(x)=2x^2-3x+a$となるのは，$a \geqq [$*$ メ]$のときである．
(4)$a>0$とする．$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ ax,\ \frac{1}{2}(1-ax) \right\}$を考える．このとき，
$\displaystyle I(a)=\int_0^1 f(x) \, dx$を計算すると，

$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[モ]}{[ヤ]}$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( 1+\frac{[$*$ ラ]}{[リ]}a \right)$，

$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}<a$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ル]}{[レ]}a+\frac{[$*$ ロ]}{[ワヲ]a}$

である．

$k$を正の定数として，放物線$C:y=x^2$と直線$\ell_n:y=a_nx+ka_n-{a_n}^2$を考える．$C$と$\ell_n$の共有点の個数を$a_{n+1}$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし，以下では常に$a_1=0$とする．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．

$m$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2mx+m^2-4m$について，以下の問に答えよ．

(1)$m=3$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$の最大値が$2$，最小値が$-4m$となるような$m$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)>0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=f(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とすると，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{4}a^2+a$である．また，関数$g(x)$は$x>0$において$g(x)<0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=g(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$T(a)$とすると，$\displaystyle T(a)=\frac{1}{3}a^3-a^2+2a$である．

(1)$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=1$，$x=2$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{[ヒ][フ]}$である．
(2)$f(1)-g(1)$の値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(3)$x>0$において，$f(x)-g(x)$の最小値は$\displaystyle \frac{[マ][ミ]}{[ム][メ]}$である．

実数$t$に対して$\displaystyle f(t)=\frac{t+|t|}{2}$とおく．このとき座標平面において不等式
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．

$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．

(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$\displaystyle \tan 2\alpha=\frac{1}{2}$かつ$\tan \alpha>0$のとき，$\tan \alpha=[ア]$であり，また$\tan 3\alpha=[イ]$である．
(2)$r>0$に対し，中心$(-2,\ 7)$，半径$r^2+3r+4$の円$C_1$と中心$(3,\ -5)$，半径$2r^2+7r+1$の円$C_2$を考える．$C_1$と$C_2$がちょうど$3$本の共通接線をもつとき$r=[ウ]$であり，$C_1$と$C_2$が平行な共通接線をもつとき$r=[エ]$である．