曲線$C:y=-5x^3+21x$と直線$\ell:y=x$の交点のうち$x$座標が正である点を$\mathrm{A}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\triangle \mathrm{OAP}$の面積$S$を$t$の式で表せ．ただし，$0<t<2$とする．
(3)$0<t<2$とするとき，$(2)$で求めた$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)不等式$|3x-5|<x+4$を満たす整数解を求めよ．
(2)式$(\cos {15}^\circ+\sin {15}^\circ)^2+(\cos {15}^\circ-\sin {15}^\circ)^2$の値を求めよ．
(3)$2 \leqq x \leqq 3$，$3 \leqq y \leqq 4$のとき，$1+xy-x-y$の最大値と最小値を求めよ．

$2$次不等式$ax^2+bx+c>0$の解が$-4<x<3$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$2$次不等式$ax^2+2bx+2c<0$を解け．

$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} (0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき，$\sin^3 \theta-\cos^3 \theta$の値を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-1|-2x$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 2$のとき，関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)不等式$y<x<x^2$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$x+y<x^2<x^4-2$の表す領域を図示せよ．

$x$の関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}ax^2-a$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値を$g(a)$とおく．ただし，$a$は実数とする．

(1)$g(a)$を求めよ．
(2)$g(a)$の最小値と，その時の$a$を求めよ．

不等式$(\log_2 x)^2-\log_4 x^8+3 \leqq 0$を解け．

$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$2$人が$n$個（$n \geqq 2$）の計画案から$1$つを選び出す．これに要する時間$T_n$は，
\[ T_n=a+b \log_2 (n+1) \]
で表される．ただし，$a,\ b$は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とで異なる定数である．$\log_23=1.585$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が$2$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_2=850$秒，$3$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_3=1016$秒であった．$\mathrm{P}$の定数$a,\ b$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$5$個の計画案から$1$つを選び出すときに要する時間を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の定数は$a=300$，$b=360$である．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がそれぞれ$8$個の計画案から$1$つを選び出すとき，どちらが何秒早く選び出すことができるか．

平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$があり，$c>0$として点$\mathrm{C}(0,\ c)$をとる．$\angle \mathrm{ACB}=\theta$として次の問に答えよ．

(1)$c=1$のとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]}$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{[$25$][$26$][$27$]}}{[$28$]}$である．
(2)$\theta$が最大になるとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]}$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\sqrt{[$31$]}$である．