$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=x^2-2x \cos \theta+\sin^2 \theta$について，以下の問に答えなさい．空欄には下の選択肢から選びその番号をマークしなさい．

(1)$f(x)$の最小値が$0$となるのは，$\theta=[テ],\ [ト]$のときである．ただし，$[テ]<[ト]$とする．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもたないとき，$\theta$の取りうる値の範囲は，$[ナ]<\theta<[ニ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の$2$つの解がともに負となるとき，$\theta$の取りうる値の範囲は$[ヌ] \leqq \theta<[ネ]$である．
\begin{screen}
選択肢： $\displaystyle \nagamarurei \ 0 \quad \nagamaruichi \ \frac{\pi}{6} \quad \nagamaruni \ \frac{\pi}{4} \quad \nagamarusan \ \frac{\pi}{3} \quad \nagamarushi \ \frac{\pi}{2} \quad \nagamarugo \ \frac{2\pi}{3} \quad \nagamaruroku \ \frac{3\pi}{4} \quad \nagamarushichi \ \frac{5\pi}{6} \quad \nagamaruhachi \ \pi$
\end{screen}

次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．

(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．

(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．

行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える．点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし，$n$を正の整数とするとき，$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする．また，$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし，$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう．

(1)$\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]} \left( \begin{array}{cc}
[エ] & [オ] \\
[オ] & [エ]
\end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[カ]}{[キクケ]},\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]} \right)$である．
(2)$E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=[サ]$かつ$\theta=[シ]$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \]
また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & 1-r \cos \theta
\end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると
\[ T=\left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ] & -r \sin \theta+r^n [ソ]-r^{n+1} [タ] \\
r \sin \theta-r^n [ソ]+r^{n+1} [タ] & 1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ]
\end{array} \right) \]
である．ただし，$[ス]$，$[セ]$，$[ソ]$，$[タ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \]
$0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると，
\[ \mathrm{Q}=\left( \frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\ \frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2} \right) \]
である．

関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）

$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は

$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．

$x$の$2$次関数$y=x^2-(2a^2-4a)x+a^4-4a^3+3a^2+1$のグラフについて，次の問いに答えよ．ただし，$a$は$0<a<2$を満たす実数とする．

(1)頂点の座標を求めよ．
(2)頂点が直線$y=-x$上にあるような$a$の値を求めよ．
(3)原点と頂点を通る直線の傾きの絶対値が$1$以上となるような$a$の値の範囲を求めよ．

対角線が$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$である平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積は$8 \sqrt{15}$であり，三角形$\mathrm{ABD}$は鋭角三角形である．このとき，頂点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とし，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{AH}=x$，$\mathrm{BD}=y$とする．ただし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．

毎秒$a \, \mathrm{m}$の速さで真上に投げ上げた球の$t$秒後の高さ$h \, \mathrm{m}$は$h=at-5t^2$と表されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$a=10$のとき，最高何$\mathrm{m}$の高さに達するか．
(2)最高点の高さが$20 \, \mathrm{m}$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)最高点に達してから$1$秒後の高さが$35 \, \mathrm{m}$のとき，$a$の値を求めよ．