以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$と，正の定数$m$がある．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)傾きが$m$となる$C$の接線を$2$本求めなさい．
(2)直線$y=mx$と$C$の交点の座標を$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$それぞれの座標を求めなさい．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は正の値とする．
(3)$(1)$で求めた$2$本の接線および，$(2)$の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$それぞれにおける$C$の接線とで囲まれた図形の面積を求めなさい．

$r>0$とする．座標平面上の原点以外の点に対し，$2$種類の移動$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を以下のように定める．

移動$\mathrm{A} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$\displaystyle \left( r \cos \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right),\ r \sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \right)$に動く．

移動$\mathrm{B} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$((r+1) \cos \theta,\ (r+1) \sin \theta)$に動く．

（図は省略）
動点$\mathrm{K}$は点$(1,\ 0)$を出発し，上記$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くとする．

(1)動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき，到達する点の座標は$([$49$] \sqrt{[$50$]},\ [$51$])$である．
(2)動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,\ 5)$に到達する経路は$[$52$][$53$]$通りあり，そのうち点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$を{\bf 通らない}ものは$[$54$][$55$]$通りある．

以下，$p$を$0 \leqq p \leqq 1$を満たす定数とする．動点$\mathrm{K}$は各回の移動において，確率$p$で移動$\mathrm{A}$を，確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする．

(3)動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,\ 3)$である確率$P$を，$p$を用いた式で表しなさい．
(4)動点$\mathrm{K}$が$3$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき，$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい．

座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．

座標平面において$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$K$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$K$が直線$y=x-2$と接するときの$a$の値を求めよ．
(2)$t$を変数とする関数を，$\displaystyle F(t)=\int_t^1 \sqrt{1-x^2} \, dx (-1 \leqq t \leqq 1)$とする．$0 \leqq a<1$のとき，円$K$の内部と領域$x \leqq 0$の共通部分の面積を関数$F(t)$を用いて表せ．
(3)領域$D=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq x-2 \}$とする．円$K$の内部と領域$D$との共通部分の面積が最大となるときの$a$の値を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=4a_n+1$で与えられているとき，$a_2=[ア]$であり，その一般項は$a_n=[イ]$となる．また，$a_{n+2}-a_n$を$5$で割った余りは$[ウ]$である．ここで，$a_n$を$5$で割った余りを$b_n$とする．このとき，$b_4=[エ]$，$b_5=[オ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} a_kb_k=[カ]$である．
(2)座標平面において$1$次変換$f$による点$\mathrm{A}(2,\ 0)$の像は点$\mathrm{C}(4,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}(0,\ 4)$の像も点$\mathrm{C}(4,\ 0)$であるとする．このとき，$f$による点$\mathrm{D}(3,\ 2)$の像は点$([キ],\ [ク])$である．次に，放物線上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ -\frac{1}{2} t^2+1 \right) (0 \leqq t \leqq 4)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標の最大値は$[ケ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[コ]$である．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり，点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0<\theta<\pi)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ．
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．また，$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ．

$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]

実数$x$に対し
\[ f(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquad g(x)=e^{3x}-e^{-3x} \]
で定義される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$および$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$で与えられる関数$h(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \frac{d}{dx}f(x)=[ア] g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=[イ] f(x) \]
という関係を満たす．また，関数$h(x)$に対して
\[ h(0)=[ウ], \lim_{x \to \infty} h(x)=[エ], \lim_{x \to -\infty} h(x)=[オカ], \frac{d}{dx}h(x)=\frac{[キク]}{(f(x))^2} \]
が成り立つ．
(2)$x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における，曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする．接線$C$と直線$y=[エ]$の交点の$x$座標を$b$とすると，$\displaystyle b-a=\frac{[ケ]}{[コサ]}$となる．

(3)$x \geqq a$の領域において，接線$C$，曲線$y=h(x)$，直線$y=[エ]$および直線$x=t (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると，
\[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{[シス]}{[セソ]}+\frac{1}{[タ]} \log_e \frac{[チ]}{[ツ]} \]
が成り立つ．