原点$\mathrm{O}$，半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．また，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}$であるような定数$\alpha$に対し，$\angle \mathrm{POQ}=\alpha$，$\angle \mathrm{QOR}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{POR}=3 \alpha$が成り立っているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{PQRO}$の面積$S$を，$\alpha$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さ$l$を，$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$であるとき，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{OQ}$がなす角$\beta$に対し，$\sin \beta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の容器には$3 \, \%$の食塩水が$1000 \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$5 \, \%$の食塩水が$400 \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$4 \, \%$の食塩水にするには何$\mathrm{g}$入れればよいか．
(2)$\mathrm{A}$の容器には$a \, \%$の食塩水が$x \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$b \, \%$の食塩水が$y \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$c \, \%$の食塩水を作った．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に何$\mathrm{g}$加えたか．ただし，$a<c<b$，または，$b<c<a$とする．

$f(x)=|x^2-8x+12|$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=4$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$3 \leqq x \leqq 7$のとき，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$t \leqq x \leqq t+1$のとき，$f(x)$の最大値が$4$となるような$t$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の容器には$3 \, \%$の食塩水が$1000 \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$5 \, \%$の食塩水が$400 \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$4 \, \%$の食塩水にするには何$\mathrm{g}$入れればよいか．
(2)$\mathrm{A}$の容器には$a \, \%$の食塩水が$x \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$b \, \%$の食塩水が$y \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$c \, \%$の食塩水を作った．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に何$\mathrm{g}$加えたか．ただし，$a<c<b$，または，$b<c<a$とする．

$xy$座標平面上に$\mathrm{A}(3 \sqrt{3},\ 7)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -5)$，$\mathrm{C}(0,\ -2)$の$3$点がある．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$を$2:3$で内分する点を$\mathrm{P}$としたとき，$\triangle \mathrm{APC}$の面積$S$を求めよ．

$x,\ y$は正の値をとる変数で，$x+y=a$（$a$は定数）を満たす．$\displaystyle z=\log_2 \frac{1}{x}+\log_\frac{1}{2}y$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$z$を$x$と$y$の積$xy$を用いて表せ．
(2)$z$の最小値を$a$を用いて表せ．
(3)$x+y=a$を満たす全ての正の数$x,\ y$に対して，$z>0$であるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x^2-2xy+3x-4y+2$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$のとき$x^2+2x-4$の値を求めよ．
(3)$10$個の製品の中に$3$個の不良品が含まれている中から$3$個の製品を同時に選び出すとき，不良品が少なくとも$1$個含まれる確率を求めよ．
(4)連続する$7$個の自然数で小さい方の$4$つの数の平方の和が，大きい方の$3$つの数の平方の和に等しくなるとき，$7$つの自然数をすべて求めよ．
(5)不等式$x^2+4x-2<0$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．

$-2 \leqq t \leqq 2$のとき$x=t^2+t=f(t)$とする．

(1)$x$の値域を求めよ．
(2)$y=g(x)=-x^2+3x+1$の値域を求めよ．
(3)$\displaystyle z=h(y)=\frac{1}{2}y^2-4y$の値域を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

$a$を実数とする．極値を持つ$3$次関数$f(x)=x^3-ax$について考える．$3$次関数$y=f(x)$が極値を持つための$a$の満たすべき条件は$[ア]$であり，そのとき，極小値は$[イ]$である．このとき，座標平面で曲線$C:y=f(x)$上の原点以外の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における曲線$C$の接線$L$の方程式は$[ウ]$と表せる．また，曲線$C$と接線$L$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$は，$q=[エ]$となる．また，点$\mathrm{P}$と異なる曲線$C$上の点$\mathrm{R}(r,\ f(r))$における接線が接線$L$と平行であるとき，$r=[オ]$である．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$M$を求めると$M=[カ]$である．さらに，曲線$C$を$x$軸正の方向に$t (t>0)$だけ平行移動した曲線を$D$とするとき，この$2$曲線$C$と$D$とが異なる$2$つの共有点を持つための$t$の満たすべき条件は$[キ]$である．そのときの$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，$\alpha=[ク]$であり，$\beta=[ケ]$となる．このとき，$2$曲線$C$と$D$とで囲まれる図形の面積$S$を求めると$S=[コ]$である．