「不等号」について
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私立 早稲田大学 2014年 第4問$2$個以上の正の整数を要素とする有限集合を$A$とする．
$A$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$A$は良い集合であるといい，$A$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$A$は悪い集合であるという．
また，$A$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は良い集合} \right\} \]
を$A$の最良数と定義し，$A$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は悪い集合} \right\} \]
を$A$の最悪数と定義する．
たとえば，$A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 14,\ 15,\ 77,\ 154,\ 225,\ 231,\ 308 \}$のとき，$A$の良い部分集合は$\{7,\ 77,\ 231\}$，$\{7,\ 14,\ 154,\ 308 \}$，$\{11,\ 77,\ 154,\ 308 \}$などであり，$A$の最良数は$4$である．また，$A$の悪い部分集合は$\{231,\ 308 \}$，$\{14,\ 15,\ 77 \}$，$\{2,\ 7,\ 11,\ 15 \}$，$\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11 \}$などであり，$A$の最悪数は$5$である．
$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$n(A)=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$A$が存在することを証明せよ．
(2)$n(A) \geqq k^2+1$ならば，$A$の最良数または$A$の最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．
(3)要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，
\[ n(A)=2014 \quad \text{かつ} \quad (A \text{の最良数})=(A \text{の最悪数}) \]
を満たす集合$A$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．
$A$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$A$は良い集合であるといい，$A$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$A$は悪い集合であるという．
また，$A$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は良い集合} \right\} \]
を$A$の最良数と定義し，$A$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は悪い集合} \right\} \]
を$A$の最悪数と定義する．
たとえば，$A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 14,\ 15,\ 77,\ 154,\ 225,\ 231,\ 308 \}$のとき，$A$の良い部分集合は$\{7,\ 77,\ 231\}$，$\{7,\ 14,\ 154,\ 308 \}$，$\{11,\ 77,\ 154,\ 308 \}$などであり，$A$の最良数は$4$である．また，$A$の悪い部分集合は$\{231,\ 308 \}$，$\{14,\ 15,\ 77 \}$，$\{2,\ 7,\ 11,\ 15 \}$，$\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11 \}$などであり，$A$の最悪数は$5$である．
$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$n(A)=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$A$が存在することを証明せよ．
(2)$n(A) \geqq k^2+1$ならば，$A$の最良数または$A$の最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．
(3)要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，
\[ n(A)=2014 \quad \text{かつ} \quad (A \text{の最良数})=(A \text{の最悪数}) \]
を満たす集合$A$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
私立 北里大学 2014年 第2問空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ t,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 2,\ 0)$がある．ただし，$t$は定数とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である．また，条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である．
(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である．また，条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である．
私立 北里大学 2014年 第1問つぎの$[ ]$にあてはまる答を記せ．
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．
(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．
(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．
(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．
(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．
私立 久留米大学 2014年 第4問$2$つの曲線$y=6 \sin x$と$y=4-2 \cos 2x$は$x=[$10$]$で共通点を持つ．また，この$2$つの曲線で囲まれた部分の面積は$[$11$]$である．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
私立 久留米大学 2014年 第6問点$(p,\ 0)$を通り，楕円$4x^2+y^2=4$に接する直線の方程式は$y=[$15$]$および$y=[$16$]$で，接点の$x$座標は$x=[$17$]$である．また，$p=[$18$]$のとき，$2$つの接線は直交する．ここで，$p$は実数で$p>2$とする．
私立 北里大学 2014年 第3問$a$は$0<a<e$を満たす定数とする．曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$，法線を$m$とおく．以下の問に答えよ．必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で，$2.718<e<2.719$であることを用いてよい．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)方程式$4 \cos^2 \theta+4 \sin \theta-5=0$を解け．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(5)方程式$(\log_2 x)^2-2 \log_4 x^5+6=0$を解け．
(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)方程式$4 \cos^2 \theta+4 \sin \theta-5=0$を解け．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(5)方程式$(\log_2 x)^2-2 \log_4 x^5+6=0$を解け．
私立 安田女子大学 2014年 第4問$k$を正の定数とする．$f(x)=2x^3-12kx^2+18k^2x$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$\sin^4 \theta-\sin^2 \theta \geqq 0$を解け．ただし$0^\circ \leqq \theta<{180}^\circ$とする．
(5)$\sqrt{28-3 \sqrt{12}}$の整数部分を求めよ．
(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$\sin^4 \theta-\sin^2 \theta \geqq 0$を解け．ただし$0^\circ \leqq \theta<{180}^\circ$とする．
(5)$\sqrt{28-3 \sqrt{12}}$の整数部分を求めよ．