「不等号」について
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私立 早稲田大学 2014年 第5問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に
放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$
がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．
(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．
放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$
がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．
(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．
私立 神奈川大学 2014年 第3問$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．
私立 神奈川大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき，極値を求めよ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を求めよ．
(4)$0<k<1$とする．直線$y=kx$と$y=f^\prime(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$の式で表せ．
(5)$S_2$が$S_1$の$\displaystyle \frac{1}{8}$となるときの$k$の値を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき，極値を求めよ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を求めよ．
(4)$0<k<1$とする．直線$y=kx$と$y=f^\prime(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$の式で表せ．
(5)$S_2$が$S_1$の$\displaystyle \frac{1}{8}$となるときの$k$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第1問$0 \leqq x \leqq 8$とする．
(1)不等式
\[ \sin \left( \frac{\pi}{12}x \right)+\cos \left( \frac{\pi}{12}x \right) \leqq \frac{\sqrt{6}}{2} \]
を満たす$x$の範囲は
\[ 0 \leqq x \leqq [ア] \quad \text{および} \quad [イ] \leqq x \leqq 8 \cdots\cdots (*) \]
である．
(2)$x$が$(*)$の範囲を動くとき，関数
\[ f(x)=|x(x-5)(x-8)| \]
は$x=[ウ]$のとき最大値$[エ]$をとる．
(1)不等式
\[ \sin \left( \frac{\pi}{12}x \right)+\cos \left( \frac{\pi}{12}x \right) \leqq \frac{\sqrt{6}}{2} \]
を満たす$x$の範囲は
\[ 0 \leqq x \leqq [ア] \quad \text{および} \quad [イ] \leqq x \leqq 8 \cdots\cdots (*) \]
である．
(2)$x$が$(*)$の範囲を動くとき，関数
\[ f(x)=|x(x-5)(x-8)| \]
は$x=[ウ]$のとき最大値$[エ]$をとる．
私立 早稲田大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$[シ]$である．
(2)袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$[ス]$である．
(3)袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n \geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$[セ]$である．
(1)$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$[シ]$である．
(2)袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$[ス]$である．
(3)袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n \geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$[セ]$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問以下の不等式$(ⅰ)$～$\tokeigo$をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S$とする．
$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$
次の問いに答えよ．
(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．
$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$
次の問いに答えよ．
(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$a_n=5^n \sin n\theta$とおく（$n=1,\ 2,\ \cdots$）．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．
私立 京都女子大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
私立 京都女子大学 2014年 第3問$f(x)=|x+1|-|x^2+x|$とする．次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．