三角形$\mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{CA}=b$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．また辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}=b$となるようにとり，$\angle \mathrm{ADB}=\alpha$とする．

(1)この$b,\ c$に対して$x+y=2b^2$，$xy=b^4-b^2c^2$を満足する$x,\ y$で$x>y$となるものを求めると，$(x,\ y)=[$5$]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さの平方は$[$6$]$である．従って$\sin \alpha$の値を二重根号を用いずに，$b,\ c$で表せば$[$7$]$となり，さらにこれを$\sin \theta$で表せば$[$8$]$となる．

$a,\ b$は定数で$a>0$とする．関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+2a+b$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$であるとき，$a$を用いて$b$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$，最大値が$3$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

現実の気体では圧力を$p>0$，体積を$v>0$，温度を$T>0$とし，$a,\ b,\ R$を正の定数として方程式
\[ \left( p+\frac{a}{v^2} \right) (v-b)=RT \cdots\cdots ① \]
に従う．

(1)$①$から$p$を$v$を用いて表すと$p=[$9$]$となる．
(2)ボイル・シャルルの法則に従えば，$pv=RT \cdots\cdots②$である．$a>bRT$のとき，$①$と$②$を$p$と$v$の連立方程式とみなすと$v=[$10$]$である．
(3)$T=T_c$（正定数）のとき$①$の$p$を$v$の関数とみなして$\displaystyle \frac{dp}{dv}$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}$を求める．
$①$と$\displaystyle \frac{dp}{dv}=0$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}=0$を同時に満たす$T_c$，$v_c$，$p_c$を求めると，$T_c=[$11$]$，$v_c=[$12$]$，$p_c=[$13$]$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある．円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$a_i>0$，$i=1,\ 2$を考える．$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする．

(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$，$b_i>0$，$i=1,\ 2$，半径$1$の円とし，点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると，$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である．また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である．
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき，
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり，これらを小さい順に並べて，$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり，$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
-b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され，点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される．$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=[イ]$である．
(2)$3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある．この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=[ウ]$であり，$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，

$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2, (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たす．$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[オ]$である．$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=[カ]$である．
(4)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると，$y=[キ]$であり，$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると，$z=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$以下である確率は$[ケ]$であり，出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$[コ]$である．

$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．

曲線$y=e^{-x} \cos x$上の点$(a,\ e^{-a} \cos a)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)$g(x)$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle A=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$と$\displaystyle B=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を計算せよ．
(3)定積分$\displaystyle S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \sin x \, dx$を計算せよ．
(4)$a$が$0 \leqq a \leqq \pi$の範囲を動くとき，$(3)$の$S$を最大にする$a$の値を求めよ．

大中小$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．また，これらを並べてできる$3$桁の整数$abc$を$n$とする．たとえば，$a=2$，$b=5$，$c=1$なら$n=251$である．

(1)$n$が偶数である確率を求めよ．
(2)$n$を$3$で割った余りが$2$である確率を求めよ．
(3)$n \geqq 325$である確率を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$とする．このとき，$3$つの条件
\[ (a+b+c)(a-b+c)=3ac,\quad \sin A \sin C=\frac{1+\sqrt{3}}{4},\quad A \leqq C \]
が成り立っているとする．

(1)$\cos B$を求めよ．
(2)$A,\ B,\ C$を求めよ．

平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(-t,\ t^2-a)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2-a)$があり，条件
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．

(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．