$\displaystyle \sin \theta \left( \frac{1}{\tan \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta-1} \right)=a \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$であるとき，$a^2$の値を求めよ．

方程式$\cos 2\theta-3 \sin \theta+1=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\pi}$の値を求めよ．

放物線$y=x^2+ax+b$と直線$y=x+a$が接しているとき，条件を満たす$(a,\ b)$は，何組あるか．ただし，$a,\ b$はともに整数であり，$b<10$とする．

数列$\{a_n\}$は，$a_1=2$と$a_{n+1}=3a_n-2$を満たしている（$n$は自然数）．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．$S_n>2014$をみたす最小の$n$の値を求めよ．

関数$y=ax^4-4ax^3+b$（$a,\ b$とも実数，$a>0$）の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値が$3$，最小値が$-24$となるとき，$a+b$の値を求めよ．

曲線$y=\sqrt{x-1}$上（$x>1$）の点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(3,\ -1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を$m$とする．$m^2$の値を求めよ．

点$\displaystyle \mathrm{P}(\cos^4 \theta,\ -\sin^4 \theta) (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$の軌跡を曲線$C$とし，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$における曲線$C$の接線を直線$L$とする．曲線$C$，直線$L$，$y$軸で囲まれた面積を$S$とする．$128S$の値を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．

(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

$f(x)=x^2-(a+1)x+a$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$(2x-1)^7$を展開したときの負の係数の中で，その値が最も小さい項の次数を述べよ．
(2)次の命題の否定を述べ，その真偽を調べよ．偽の場合には反例をあげよ．
「すべての実数$x,\ y$について，$x^2+y^2-2xy+2x-2y+1>0$である」