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国立 福島大学 2014年 第5問$a,\ b$を正の定数とし，関数$y=f(x)$，$y=g(x)$を次のように定める．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
数直線上の座標$1,\ 2,\ 3$で表される位置に置かれた点に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
操作$\mathrm{T}$
\mon[$(\mathrm{a})$] 点が$1$または$2$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で正の方向へ$1$だけ動かす．
\mon[$(\mathrm{b})$] 点が$3$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で負の方向へ$1$だけ動かす．
\end{screen}
以下，$n$を自然数とする．
(1)$1$の位置に置かれている点$\mathrm{A}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{A}$が$1$の位置に置かれている確率を$p_n$，$2$の位置に置かれている確率を$q_n$とすると，$p_n=[あ]$，$q_n=[い]$である．
(2)$2$の位置に置かれている点$\mathrm{B}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{B}$が$2$の位置に置かれている確率を$q_n^\prime$とすると，$q_n^\prime=[う]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$1$の位置に置かれているとする．はじめに$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとし，点$\mathrm{C}$が$1$の位置を離れた次の回からは$\mathrm{O}$君が加わって，$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うのと同時に，$\mathrm{K}$君とは独立に，$\mathrm{O}$君が点$\mathrm{D}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとする．
$(3-1)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$2$の位置に置かれている確率を$r_n$とすると$r_1=0$，$r_2=[え]$であり，一般に$n \geqq 2$に対して$r_n=[お]$である．
$(3-2)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がどちらも$2$の位置に置かれていない確率を$s_n$とすると$s_1=[か]$である．また一般に$n \geqq 2$に対して$s_n-r_n=[き]$である．
数直線上の座標$1,\ 2,\ 3$で表される位置に置かれた点に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
操作$\mathrm{T}$
\mon[$(\mathrm{a})$] 点が$1$または$2$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で正の方向へ$1$だけ動かす．
\mon[$(\mathrm{b})$] 点が$3$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で負の方向へ$1$だけ動かす．
\end{screen}
以下，$n$を自然数とする．
(1)$1$の位置に置かれている点$\mathrm{A}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{A}$が$1$の位置に置かれている確率を$p_n$，$2$の位置に置かれている確率を$q_n$とすると，$p_n=[あ]$，$q_n=[い]$である．
(2)$2$の位置に置かれている点$\mathrm{B}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{B}$が$2$の位置に置かれている確率を$q_n^\prime$とすると，$q_n^\prime=[う]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$1$の位置に置かれているとする．はじめに$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとし，点$\mathrm{C}$が$1$の位置を離れた次の回からは$\mathrm{O}$君が加わって，$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うのと同時に，$\mathrm{K}$君とは独立に，$\mathrm{O}$君が点$\mathrm{D}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとする．
$(3-1)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$2$の位置に置かれている確率を$r_n$とすると$r_1=0$，$r_2=[え]$であり，一般に$n \geqq 2$に対して$r_n=[お]$である．
$(3-2)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がどちらも$2$の位置に置かれていない確率を$s_n$とすると$s_1=[か]$である．また一般に$n \geqq 2$に対して$s_n-r_n=[き]$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また$(3) \ (ⅱ)$に答えなさい．
放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す．$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし，大きい方を$\ell_2$とする．また$\ell_1$，$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．
(1)接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=[あ]$，$m_2=[い]$である．
(2)$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とするとき，$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと
\[ \left( [う],\ [え] \right) \]
である．
(3)$\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$（ただし$0<\alpha<\pi$）となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す．
(i) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$[お]$である．
(ii) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい．
(4)点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$[か]$である．
放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す．$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし，大きい方を$\ell_2$とする．また$\ell_1$，$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．
(1)接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=[あ]$，$m_2=[い]$である．
(2)$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とするとき，$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと
\[ \left( [う],\ [え] \right) \]
である．
(3)$\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$（ただし$0<\alpha<\pi$）となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す．
(i) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$[お]$である．
(ii) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい．
(4)点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$[か]$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{BAC}=2\theta$とする．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の半径を$R_1(\theta)$とする．$R_1(\theta)$を$\theta$の式で表すと$R_1(\theta)=[あ]$である．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_1(\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_1$とすると
\[ \sum_{k=1}^\infty \sin^k \theta_1=[い] \]
が成り立つ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内側に次のように円$C_2$，$C_3$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$を作る．円$C_1$の外側にあって円$C_1$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_2$とし，円$C_1$，$C_2$の外側にあって円$C_2$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_3$とする．以下同様に自然数$n \geqq 2$に対して，円$C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_{n-1}$の外側にあって円$C_{n-1}$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_n$とする．$C_n$の半径$R_n(\theta)$を$\theta$と$n$の式で表すと$R_n(\theta)=[う]$である．
(3)$x$の$2$次式$g_n(x)=[え]$に対して
\[ \frac{d}{d\theta}\log R_n(\theta)=-\frac{g_n(\sin \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \]
が成り立つ．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_n (\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_n$とすると$\sin \theta_n=[お]$である．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \theta_n=[か]$である．このことから，$\theta=\theta_n$のときの円$C_n$の面積$S_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2S_n=[き]$が成り立つ．
三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{BAC}=2\theta$とする．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の半径を$R_1(\theta)$とする．$R_1(\theta)$を$\theta$の式で表すと$R_1(\theta)=[あ]$である．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_1(\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_1$とすると
\[ \sum_{k=1}^\infty \sin^k \theta_1=[い] \]
が成り立つ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内側に次のように円$C_2$，$C_3$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$を作る．円$C_1$の外側にあって円$C_1$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_2$とし，円$C_1$，$C_2$の外側にあって円$C_2$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_3$とする．以下同様に自然数$n \geqq 2$に対して，円$C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_{n-1}$の外側にあって円$C_{n-1}$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_n$とする．$C_n$の半径$R_n(\theta)$を$\theta$と$n$の式で表すと$R_n(\theta)=[う]$である．
(3)$x$の$2$次式$g_n(x)=[え]$に対して
\[ \frac{d}{d\theta}\log R_n(\theta)=-\frac{g_n(\sin \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \]
が成り立つ．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_n (\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_n$とすると$\sin \theta_n=[お]$である．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \theta_n=[か]$である．このことから，$\theta=\theta_n$のときの円$C_n$の面積$S_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2S_n=[き]$が成り立つ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=r^2$と放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2-t$がある．ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする．点$(0,\ -55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは$3 \sqrt{6}$である．放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4 \sqrt{3}$，$4 \sqrt{3}$である点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る．このとき，
(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．
(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 8)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(12,\ 0)$を頂点とする三角形$\triangle \mathrm{AOC}$に接する正方形を，一辺が$\mathrm{OC}$上にあり，$2$頂点が三角形の他の辺上にあるようにとる．このとき正方形の一辺の長さは
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]} \]
である．
(2)$u,\ v$を$0<u<2$，$0<v$なる実数とするとき
\[ (u-v)^2+\left( \sqrt{4-u^2}-\frac{18}{v} \right)^2 \]
は
\[ u=\sqrt{[$5$]},\quad v=[$6$] \sqrt{[$7$]} \]
のとき，最小値$[$8$][$9$]$をとる．（ヒント：平面上の$2$点の距離を考える．）
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 8)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(12,\ 0)$を頂点とする三角形$\triangle \mathrm{AOC}$に接する正方形を，一辺が$\mathrm{OC}$上にあり，$2$頂点が三角形の他の辺上にあるようにとる．このとき正方形の一辺の長さは
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]} \]
である．
(2)$u,\ v$を$0<u<2$，$0<v$なる実数とするとき
\[ (u-v)^2+\left( \sqrt{4-u^2}-\frac{18}{v} \right)^2 \]
は
\[ u=\sqrt{[$5$]},\quad v=[$6$] \sqrt{[$7$]} \]
のとき，最小値$[$8$][$9$]$をとる．（ヒント：平面上の$2$点の距離を考える．）
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x,\ y,\ z$は実数で$xyz \neq 0$とする．もし
\[ 2^x=3^y=[$1$][$2$]^z \]
ならば
\[ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は
\[ [$3$][$4$],\quad [$5$][$6$],\quad \frac{[$7$][$8$] \pm \sqrt{[$9$][$10$]}}{[$11$][$12$]} \]
である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．
(3)直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2 (x>0)$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は
\[ \frac{[$13$] \sqrt{[$14$][$15$]}}{[$16$][$17$]} \]
である．
(1)$x,\ y,\ z$は実数で$xyz \neq 0$とする．もし
\[ 2^x=3^y=[$1$][$2$]^z \]
ならば
\[ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は
\[ [$3$][$4$],\quad [$5$][$6$],\quad \frac{[$7$][$8$] \pm \sqrt{[$9$][$10$]}}{[$11$][$12$]} \]
である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．
(3)直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2 (x>0)$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は
\[ \frac{[$13$] \sqrt{[$14$][$15$]}}{[$16$][$17$]} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である．このとき，
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$x$に関する$3$つの関数$f_1(x)=x(15-x)$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{x(30-x)}{2}$，$f_3(x)=x(17-x)$が与えられている．
(1)$x_1+x_2=c$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$という条件の下で$f_1(x_1)+f_2(x_2)$を最大にする問題を考える．ただし，$c$は$20$以下の正数とする．最大値$V(c)$を与える$x_1,\ x_2$の値をそれぞれ$p,\ q$とすると，$\displaystyle q=\frac{[$10$][$11$]}{[$12$][$13$]}c$である．$V(c)=42$となる$c$の値は$[$14$][$15$]$である．
(2)$x_1+x_2+x_3=20$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$，$x_3 \geqq 0$という条件の下で
\[ f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3) \]
を最大にする問題を考える．最大値を与える$x_1,\ x_2,\ x_3$の値をそれぞれ$p,\ q,\ r$とすると
\[ q=\frac{[$16$][$17$]}{[$18$][$19$]},\quad r=\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \]
である．
(1)$x_1+x_2=c$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$という条件の下で$f_1(x_1)+f_2(x_2)$を最大にする問題を考える．ただし，$c$は$20$以下の正数とする．最大値$V(c)$を与える$x_1,\ x_2$の値をそれぞれ$p,\ q$とすると，$\displaystyle q=\frac{[$10$][$11$]}{[$12$][$13$]}c$である．$V(c)=42$となる$c$の値は$[$14$][$15$]$である．
(2)$x_1+x_2+x_3=20$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$，$x_3 \geqq 0$という条件の下で
\[ f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3) \]
を最大にする問題を考える．最大値を与える$x_1,\ x_2,\ x_3$の値をそれぞれ$p,\ q,\ r$とすると
\[ q=\frac{[$16$][$17$]}{[$18$][$19$]},\quad r=\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \]
である．