条件$a_1=0$，$a_{n+1}=4a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．関数$f_n(x)$と$g(x)$が
\[ \begin{array}{l}
f_n(x)=a_nx^2+a_n+1 \\
g(x)=x^3+3x^2-9x+4 \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(2)関数$y=|f_2(x)-g(x)|$のグラフをかけ．また，$-3 \leqq x \leqq 3$の範囲で$y$の値の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．

次の$3$つの条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(i) $a_1=0$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$
(iii) 放物線$y=x^2$と，その上の点$(a_n,\ {a_n}^2)$における接線と，直線$x=a_{n+1}$とで囲まれる図形の面積が$8^n$になる．

関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．

(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$

(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$

すべての実数$x,\ y$に対して不等式
\[ \frac{1}{1+x^2+(y-x)^2} \leqq \frac{a}{1+x^2+y^2} \]
が成り立つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b$を正の実数とするとき，不等式
\[ a^3+b^3 \geqq a^2b+ab^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(2)$2$次方程式
\[ 2x^2-kx+1=0 \]
が，$0<x<1$および$1<x<2$の範囲に解を$1$つずつもつとき，定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の実数$x,\ y,\ z$が
\[ \frac{yz}{x}=\frac{zx}{4y}=\frac{xy}{9z} \]
を満たすとする．このとき，式
\[ \frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \]
の値を求めなさい．

正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．

いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．

(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)定積分
\[ \int_0^{2\pi} \sin \frac{7x}{3} \cos \frac{2x}{3} \, dx \]
を求めなさい．
(2)次の無限級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めなさい．
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{(2n)^2-1}+\cdots \]
(3)$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ 1-4 \cos^2 x=a \quad (0 \leqq x<\pi) \]
の異なる解の個数を調べなさい．

次のように定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2{a_n}^3+1}{3{a_n}^2} \]

(1)$a_2$を求めなさい．
(2)任意の自然数$n$について$a_n>1$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
(3)任意の自然数$n$について$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示しなさい．