立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{FG}$上に$\mathrm{FS}:\mathrm{SG}=t:(1-t) (0<t<1)$をみたす点$\mathrm{S}$をとる．また，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{z}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\log t$，$\log 2t$とし，曲線$C$と直線$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．また，$\ell,\ m$の傾きをそれぞれ$\tan \alpha$，$\tan \beta$とする．ただし，$t>0$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha,\ \tan \beta$および$S$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\beta-\alpha$が最大となるときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$2-x<(2+x)e^{-x}$が成り立つことを証明せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (2-x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (2+x)e^{-x} \, dx$の値を求めよ．
(3)$(1)$と$(2)$を用いて，不等式$\displaystyle \frac{3}{5}<e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}$が成り立つことを証明せよ．

関数$f(x)=e^{-\sqrt{3}x}(1-\cos x)$を考える．自然数$n$に対し，区間$2(n-1) \pi \leqq x \leqq 2n \pi$における関数$f(x)$の最大値を$A_n$とする．

(1)$A_1$を求めよ．
(2)自然数$n$に対し，$A_n$を$n$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n$の和を求めよ．

$x$軸の正の部分を動く点$\mathrm{P}(t,\ 0) (t>0)$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(0,\ 7)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の中心の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，$x$軸の正の部分に接する円の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{APB}$の大きさを最大にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

実数の定数$a,\ b$に対し，関数$f(x)=\sin^2 2x-a(4 \cos^2 x-\cos 2x-2)+b$が与えられている．

(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

自然数$n$に対して，$1$から$2n$までのすべての自然数を次の条件（ア）および（イ）を満たすように並べた順列$[i_1,\ i_2,\ i_3,\ i_4,\ \cdots,\ i_{2n-1},\ i_{2n}]$の総数を$f(n)$とする．

（ア） $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$i_{2k-1}<i_{2k}$
（イ） $n \geqq 2$ならば$i_1<i_3<\cdots<i_{2n-1}$

たとえば$n=1$のとき条件（ア）を満たす順列は$[1,\ 2]$のみであるから$f(1)=1$となる．

(1)$f(2),\ f(3)$を求めよ．
(2)$n=2,\ 3,\ \cdots$とするとき，$f(n)$と$f(n-1)$の間の関係式を求めよ．
(3)$f(n)$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対して，関係式
\[ \frac{x^2}{(\cos \theta+2)^2}+\frac{y^2}{(\sin \theta+3)^2}=1 \]
を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta)$とする．

(1)$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \mathrm{P}(\theta) \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の軌跡の方程式を求めよ．

実数の定数$a,\ b$に対し，関数$f(x)=\sin^2 2x-a(4 \cos^2 x-\cos 2x-2)+b$が与えられている．

(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) (0 \leqq t<2\pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．