$0<a<1$とする．曲線$y=|x|x$を$C_1$とし，曲線$y=ax^2+x-a$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$3$象限にある共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値をとるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$p$を素数とする．初項，公差がともに$5p$の等差数列を$\{a_n\}$とする．数列$\{b_n\}$は公差が$p$の等差数列で$\displaystyle \sum_{n=1}^p a_n=a_1+a_p+5 \sum_{n=1}^p b_n$を満たす．

(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle C_2:y=\cos x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$について，次の問に答えよ．

(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とするとき，$\sin a$の値を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$0<r<R$とし，半径$R$の円に半径$r$の小円をいくつか外接させる．ただし，小円どうしは接するか互いに交わらないものとする（図参照）．このときの小円の個数の最大値を$n$としたとき，次の問に答えよ．必要ならば，下の数表（三角関数表）を用いてよい．
（図は省略）

$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AD}=4$，$\mathrm{AE}=1$である図のような直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{CG}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{AD}$をそれぞれ$1-p:p (0<p<1)$に分ける点を$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$とする．点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$が作る平面を$L$，$L$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$を通る直線との交点をそれぞれ$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$として以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AU}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AV}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AW}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$がそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$上にあることを示せ．
(2)六角形$\mathrm{UVWXYZ}$の面積はいくらか．

$\displaystyle y=f(x)=\tan x \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},\ -\infty<y<\infty \right)$の逆関数を$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\tan^{-1}x \left( -\infty<x<\infty,\ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．

(i) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．

(ii) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．

(2)次の問に答えよ．

(i) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $(ⅰ)$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(iii) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．

$n$枚のカードに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これら$n$枚のカードを横一列に並べて，左端から$i$番目（$1 \leqq i \leqq n$）のカードに書かれた数を$a_i$とする．

(1)$n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅱ)$では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．

(i) $1<k<n$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$

(3)$n \geqq 4$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅲ)$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す．

(i) $1<p<q<n$
(ii) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(iii) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．

丸いピザを包丁で，まっすぐに切る．$1$回切るとどんな切り方をしてもピザは$2$片に分割される．$2$回だと$3$片か$4$片に分割される．このとき，$n$回切ったときの最大分割数を$a_n$とおく．例えば$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=7$である．次の問いに答えよ．

(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[　]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[　]$．