$a$は定数で$0 \leqq a \leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．

(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$，曲線$y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3) (t>0)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，また$\alpha=\angle \mathrm{POQ}$，$\beta=\angle \mathrm{OPQ}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いた式で表せ．
(2)$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$t$を用いた式で表せ．
(3)$\tan \beta$が最大となるような$t$とそのときの$\beta$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

曲線$C$は媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 2\pi)$によって，$x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$と表される．

(1)$x$は$t$の関数として増加関数であることを示せ．
(2)$0<t<2\pi$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$t$を用いた式で表せ．また，$y$の$x$に関する増減を調べよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$および$\displaystyle \int \cos^3 t \, dt$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$a,\ b$を実数とし，$f(x)={2}^{2x-1}-a \cdot {2}^x+b$とおく．

(1)$a=3,\ b=4$のとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．
(2)$a>0,\ b=0$のとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，点$(a,\ b)$の表す領域を図示しなさい．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

次の各問いに答えなさい．

(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい．ただし，$0<k<n$とする．
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について，$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい．ただし，$a,\ b>0$とする．