$t$を定数とする$2$次方程式$\displaystyle z^2-tz+t-\frac{1}{2}=0$について，次の各問に答えよ．ただし，定数$t$は実数とする．

(1)この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．

不等式
\[ \log_x y<2+3 \log_y x \]
の表す領域を座標平面上に図示せよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{4}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\ \sin 2a)$における接線$\ell_1$と点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}-a,\ \sin 2 \left( \frac{\pi}{2}-a \right) \right)$における接線$\ell_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの確率変数$X,\ Y$の確率分布を同時に考えた表（同時確率分布表）が下のように与えられている．ただし，$X,\ Y$は互いに独立であり，$0<a<1$，$0<b<1$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
（図は省略）

(1)表を完成させ，完成させた表を書け．
(2)確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ．
(3)確率変数$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$の確率分布表を作成し，$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．
(4)$\displaystyle E(Z)=\frac{9}{4},\ E(W)=-\frac{3}{2}$となる場合に，$Z$の分散$V(Z)$を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．

次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 3 \\
x^2+y^2+6y \geqq 3
\end{array} \right. \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$D$を座標平面上に図示せよ．
(2)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．