以下の問いに答えよ．

(1)$r \neq 1$のとき$S_n=r+2r^2+3r^3+\cdots +nr^n$を求めよ．
(2)$x>0$に対して
\[ f_n(x)=e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+\cdots +ne^{-nx} \]
とおく．極限$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)$を求めよ．ただし$\displaystyle \lim_{t \to \infty} te^{-t}=0$であることを用いてもよい．
(3)$(2)$で得られた関数$f(x)$について，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$(2)$で得られた関数$f(x)$について，定積分$\displaystyle \int_{\log 2}^{\log 3} xf(x) \, dx$を求めよ．

放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$が次の条件をみたしている．
\[ 0<p<q,\quad \angle \mathrm{POQ}=\frac{\pi}{4} \]
ただし$\mathrm{O}$は原点である．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$q$を$p$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．

座標空間に立方体$K$があり，原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{B}(r,\ s,\ t)$，$\mathrm{C}(3,\ 0,\ 0)$が次の条件をみたしている．

(i) $\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$は立方体$K$の辺である．
(ii) $\mathrm{OC}$は立方体$K$の辺ではない．
(iii) $b>0,\ t>0$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)立方体$K$の一辺の長さ$l$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,\ 0,\ 0)$とする．$\mathrm{PH}$の長さを$x$を用いて表せ．
(5)立方体$K$を$x$軸を回転軸として$1$回転させて得られる回転体の体積$V$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=|f(x)|$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{1}{e}$，$x=e$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．

直円柱に対して，底面の半径を$x$，高さを$h$，表面積（側面積と$2$つの底面積の合計）を$S$，体積を$V$で表すことにする．ただし，$x>0$，$h>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ．
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ．また，$V$を$x$と$S$を用いて表せ．
(3)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ．
(4)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$と$h$の比，すなわち$x:h$を求めよ．

$n$を自然数とし，次の漸化式で$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定める．

$a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=1,\ b_2=1,\ b_3=1,\ b_{n+3}=3b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いよ．

(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の最初の$6$項をそれぞれ求めよ．
(2)$a_{n+6}=8a_n$となることを示せ．
(3)$m$を$0$以上の整数とするとき，$a_{6m+1}$と$b_{6m+1}$を$m$を用いて表せ．
(4)$6$で割った余りが$1$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．
(5)$6$で割った余りが$3$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$xy+y^2+xz+yz$を因数分解せよ．
(2)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ ab+b^2+ac+bc \]
を$4$で割った余りが$3$であることを示せ．
(3)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc \]
は$6$の倍数であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]