座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

$n,\ m$を$0$以上の整数とし，
\[ I_{n,m}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta \sin^m \theta \, d\theta \]
とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．
(2)次の式
\[ I_{2n+1,2m+1}=\frac{1}{2} \int_0^1 x^n(1-x)^m \, dx \]
を示せ．
(3)次の式
\[ \frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+\cdots +(-1)^m \frac{\comb{m}{m}}{n+m+1} \]
を示せ．ただし$0!=1$とする．

関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2 \cos x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．

(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．

関数$f(x)=x^x (x>0)$と正の実数$a$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$f(x)f(1-x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$\displaystyle \frac{f(x)f(1-x)f(a)}{f(ax)f(a(1-x))}$の最小値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$t>0$のとき
\[ e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(2)座標平面上の点$(0,\ a)$を通って曲線$y=xe^x$に何本の接線が引けるか求めよ．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

$n$を$3$以上の整数とし，$a,\ b,\ c$は$1$以上$n$以下の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a<b<c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(2)$a \leqq b \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(3)$a<b$かつ$a \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x,\ y$に対して$x^2+y^2+2axy+2bx+1 \geqq 0$が成り立つとする．このとき，実数$a,\ b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$のなす領域を座標平面上に図示せよ．
(2)$(1)$の領域を点$(a,\ b)$が動くとき$a^2+b$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=1$とする．$0 \leqq x \leqq 1$を満たす$x$に対して，辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{Q}$を，それぞれ$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=x$となるようにとる．さらに，直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{AR}$を$x$の関数として表せ．
(2)$(1)$の関数を$f(x)$とおくとき，$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．