$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．

$a_1=3$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>2$であることを示せ．

(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-2}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする．曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$，$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t)) (t>0)$をとり，点$\mathrm{P}$における接線と法線，および，点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1$，$d_2$とおく．$d_1$，$d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1$，$d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．

$xy$平面上で，媒介変数$\theta$により
\[ x=\sqrt{\cos 2\theta} \cos \theta,\quad y=\sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \quad \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を$(p,\ q)$とする．$(p,\ q)$を求めよ．
(2)曲線$C$で囲まれた図形のうち$x \geqq p$の部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(1)$で求めた$x$座標である．

$p$を素数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．

正の整数$n$に対して，半径$1$の円に内接する正$4n$角形の面積を$S_n$とし，外接する正$4n$角形の面積を$T_n$とする．このとき，$S_n>0.95T_n$となる最小の数$n$を求めよ．

実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．

$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．

(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．

(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．

(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．

負でない整数$N$が与えられたとき，$a_1=N$，$\displaystyle a_{n+1}=\left[ \frac{a_n}{2} \right] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし$[a]$は，実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を表す．

(1)$a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2)$0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3)$0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(*)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(*)$ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．

原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0)$をとる．ただし$a>1$とする．$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$本の接線の接点を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．