次の問いに答えなさい．

(1)$x,\ y$の多項式$x^3y+x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$のとき$(1)$の多項式$x^3y+x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y$の値を求めなさい．
(3)$a<0$とし，$2$次方程式$ax^2-(a^2+a+1)x-2a-4=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき$2$つの解$\alpha,\ \beta$が$-2<\alpha<-1$かつ$-1<\beta<0$を満たすような$a$の範囲を求めなさい．

$a>3$とし，座標平面上に円$C:x^2+y^2=9$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．このとき次の問いに答えなさい．

(1)円$C$上に点$\mathrm{Q}(x_0,\ y_0)$をとり，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．このとき点$\mathrm{R}$の座標を$a,\ x_0,\ y_0$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{R}$の軌跡と円$C$の共有点が$1$つのみであるとき，共有点の座標と$a$の値を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$3$点$(-2,\ -11)$，$(2,\ -7)$，$(4,\ -23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．
(2)$(1)$で示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．

$①$ $x$軸 \qquad $②$ $y$軸 \qquad $③$ 原点

(3)$(2)$の$①,\ ②,\ ③$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0 \leqq x \leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．

$k$は定数とし，$k>0$とする．関数
\[ f(x)=(x+1)^3-\frac{3}{2}k(x+1)^2+2 \]
について次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)すべての$x \geqq 0$に対して，$f(x) \geqq 0$が成り立つ$k$の値の範囲を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 100,\quad y \geqq -\sqrt{3}x+10 \sqrt{3} \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x-\frac{x^2}{2} \leqq \log (1+x) \leqq x$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\log (n \sqrt{n}+1)+\log (n \sqrt{n}+\sqrt{2})+\cdots +\log (n \sqrt{n}+\sqrt{n})-n \log (n \sqrt{n}) \]
と定めるとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面において，双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする．曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に，半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する．点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし，点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする．最初，点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり，点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある．円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し，点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき，点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について，
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め，$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形を底面とする四角柱$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，それぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{BF}$，辺$\mathrm{CG}$上に，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が同一平面上にあるようにとる．四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおく．また，$\angle \mathrm{AOP}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{COR}$を$\beta$とおく．

(1)$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4},\ S=\frac{7}{6}$であるとき，$\tan \alpha+\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
（図は省略）

$p,\ q$は実数の定数で，$0<p<1$，$q>0$をみたすとする．関数
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．

以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．

(1)$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，
\[ x_n=f(x_{n-1}) \]
によって順次定める．$p>q$であるとき，
\[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \]
となることを示せ．
(3)$p<q$であるとき，
\[ c=f(c),\quad 0<c<1 \]
をみたす実数$c$が存在することを示せ．