以下の問に答えなさい．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^3 (9-x^2) \, dx$の値を求めなさい．
(2)$k>0$とする．定義域を$-3 \leqq x \leqq 3$とする関数
\[ f(x)=k(9-x^2) \]
のグラフ$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積が$1$となるような$k$の値を求めなさい．
(3)$k$は$(2)$で求めた値とし，$-3 \leqq t \leqq 3$とする．$x \leqq t$のとき，グラフ$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$F(t)$を$t$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数$F(t)$の増減表を作成し，関数$y=F(t)$のグラフの概形を描きなさい．

指数関数について，以下の問に答えなさい．

(1)$a>0,\ a \neq 1$とする．実数$M$に対し，$a^t \geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．
(2)実数$M$に対して，実数$t_1,\ t_2$は
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
M-2 &=& 2^{t_1} \\
M &=& 2^{t_2}
\end{array} \right. \]
を満たすとする．このとき，$t_1+t_2 \geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(3)$(2)$の$2$つの式を満たす$t_1,\ t_2$に対して，$t_2-t_1 \geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える．ただし，$a$は定数である．また，関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．ただし，$p \geqq 0$を満たす．以下の問題に答えよ．

(1)関数$f(x)$が単調に増加することを示せ．
(2)直線$\ell$の傾きが最小となるとき，$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ．
(3)関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする．$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき，$x$を$a$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に，接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる．$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ．

どの頂角も${180}^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$（図$1$）があり，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{W}$とする．この四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$に分割し（図$2$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_1^\prime$とする．また，同じ四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$に分割し（図$3$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_2^\prime$とする．さらに線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$と線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$の交点を$\mathrm{G}$とする．実数$l,\ m$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=l \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
を満たすとする．以下の問に答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2}$はそれぞれ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}) \]
となるが，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．
(2)$0<p_1<1,\ 0<p_2<1$に対して，線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$を$p_1:1-p_1$に内分する点を$\mathrm{H}_1$とし，線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$を$p_2:1-p_2$に内分する点を$\mathrm{H}_2$とする．このとき，


$\overrightarrow{\mathrm{AH}_1}=(1-p_1) \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}+p_1 \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_2}=(1-p_2) \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}+p_2 \overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$


となるが，特に$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，$p_1,\ p_2$を$l,\ m$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$と同じく$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．
\[ \frac{\mathrm{G}_1^\prime \mathrm{G}}{\mathrm{G}_1 \mathrm{G}}=\frac{m}{l}=\frac{\mathrm{BW}}{\mathrm{DW}} \]
（図は省略）

次の$[$1$]$から$[$10$]$に適する答えを書きなさい．

(1)$-2z-xy^2+2xyz-x+x^2y+y$を因数分解すると$[$1$]$となる．
(2)$p>0$のとき，$\displaystyle p+\frac{1}{p}$は$[$2$]$で最小値$[$3$]$となる．
(3)サイコロを$4$つ投げるとき，すべての目が異なる確率は$[$4$]$であり，少なくとも$2$つのサイコロの目が同じである確率は$[$5$]$である．
(4)$\overrightarrow{a}=(3,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ -1)$のとき，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値は$t=[$6$]$，そのときの最小値は$[$7$]$となる．
(5)$\log_2 (x-1)+\log_2 (6-x)=2$を解くと，解は小さい方から順に$[$8$]$，$[$9$]$となる．
(6)数列$1 \cdot 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 5 \cdot 7,\ 5 \cdot 7 \cdot 9,\ \cdots$の一般項$a_n=[$10$]$である．

$a,\ b,\ c$が実数のとき，不等式$a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca$を証明しなさい．

$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle \int_0^x |t^2-3t+2| \, dt$を計算しなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．

半径$1$の円を底面とする高さ$2$の円柱がある．下図のように，ひとつの底面を$xy$平面にとり，その中心を原点$\mathrm{O}$にとる．点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\ 0,\ 0 \right)$および点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$を通り，$xy$平面と${45}^\circ$の角をなす平面で，円柱を$2$つの立体に分ける．以下の問いに答えよ．

(1)平面$x=a$（ただし，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq a \leqq 1$）で小さい方の立体を切ったときの切り口（長方形$\mathrm{PQRS}$）の面積$S(a)$を求めよ．
(2)小さい方の立体の体積$V$を求めよ．
（図は省略）