放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における$C$の接線$\ell_T$，さらに，点$\mathrm{A}$を通り，$\ell_T$に直交する直線（法線）$\ell_N$を考える．また，法線$\ell_N$に関して直線$x=a$と対称な直線を$\ell_R$とする．次の問に答えなさい．

(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．ただし，$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$a>0$のとき，$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい．
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a$は実数で$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
\[ 0 \leqq \theta \leqq \pi,\quad \sin \left( \frac{\pi}{4}a^2+\frac{\pi}{4} \right)+\cos \theta=0 \]
を満たす$\theta$を求めよ．
(2)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \pi,\quad 0 \leqq y \leqq \pi,\quad \sin \left( \frac{\pi}{4}x^2+\frac{\pi}{4} \right)+\cos y \geqq 0 \]
によって表される$xy$平面上の領域を図示せよ．

$xyz$空間の原点を$\mathrm{O}$とし，点$(0,\ 0,\ 1)$と点$(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$は，時刻$t=0$のとき$(-4,\ 0,\ 0)$にあって，$x$軸上を正の向きに速さ$1$で動いている．点$\mathrm{Q}$は，$t=0$のとき$(0,\ 0,\ 1)$にあって，直線$\ell$上を$x$座標が増えるように速さ$2$で動いている．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$t$の式で表せ．
(3)$-0.33 \leqq t \leqq 2.6$のときの$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$t$の値を求めよ．

あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している$1$個が，$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，$2$個とも生存している確率が$p$，死滅している確率が$1-p$であるという．このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき，$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．

実数$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)=(1-2a)x^2+2(a+b-1)x+1-b$を考える．次の問に答えなさい．

(1)すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 0$が成り立つような実数の組$(a,\ b)$の範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$を満たす，すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 0$が成り立つような実数の組$(a,\ b)$の範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ t,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ t)$，$\mathrm{C}(t,\ 1,\ 0) (0 \leqq t \leqq 1)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$の最小値を求めなさい．

異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．

(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．

異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．

(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数の定数（ただし$a<b$）とする．$2$次方程式
\[ (*) \quad x^2-px+q=0 \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$(*)$が実数解をもち，それらがともに$a$以上$b$以下であるための必要十分条件を$p,\ q$についての連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で導いた$p,\ q$についての連立不等式を満たす座標平面上の点$(p,\ q)$全体の集合を$D$とするとき，$a,\ b$を用いて$D$の面積を表せ．

指数関数について，以下の問に答えなさい．

(1)$a>0,\ a \neq 1$とする．実数$M$に対し，$a^t \geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．
(2)実数$M$に対して，実数$t_1,\ t_2$は
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
M-2 &=& 2^{t_1} \\
M &=& 2^{t_2}
\end{array} \right. \]
を満たすとする．このとき，$t_1+t_2 \geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(3)$(2)$の$2$つの式を満たす$t_1,\ t_2$に対して，$t_2-t_1 \geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．