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公立 京都府立大学 2015年 第2問$r>0$とする．実数の数列$\{a_n\}$は，
$a_1=0,\quad a_2=1,$
${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする．数列$\{b_n\}$を，
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．$b_n>0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点
$\mathrm{P}_n(n,\ a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$r$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$の成分表示を$n,\ r$を用いて与えよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{2}$とはならないことを示せ．
$a_1=0,\quad a_2=1,$
${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする．数列$\{b_n\}$を，
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．$b_n>0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点
$\mathrm{P}_n(n,\ a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$r$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$の成分表示を$n,\ r$を用いて与えよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{2}$とはならないことを示せ．
公立 兵庫県立大学 2015年 第1問$f(x)=(x^2-2x)e^x (-2 \leqq x \leqq 2)$とする．
(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2015年 第4問一辺の長さが$1$の正方形の紙片$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=t$となるようにとる．ここで$t$は$0<t<1$をみたす実数とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{R}$をとって，線分$\mathrm{QR}$を折り目として，この紙片を折ると，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$が重なるとする．また線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QB}$と線分$\mathrm{RC}$の長さを$t$で表せ．
(1)線分$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QB}$と線分$\mathrm{RC}$の長さを$t$で表せ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第2問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 1-x^2 \\
(x-1)^2+(y-1)^2 \leqq 1
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$0 \leqq a \leqq 2$を満たす定数$a$に対して$ax+y$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)$M$および$m$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 1-x^2 \\
(x-1)^2+(y-1)^2 \leqq 1
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$0 \leqq a \leqq 2$を満たす定数$a$に対して$ax+y$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)$M$および$m$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 札幌医科大学 2015年 第1問$a$と$c$は実数で$a>0$とする．また，関数$f(x)$を次式で定義する．
\[ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 \]
(1)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5}$を求めよ．
\[ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 \]
(1)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5}$を求めよ．
公立 札幌医科大学 2015年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．また直線$\mathrm{AI}$が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．
(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．