次の問いに答えよ．

(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[　]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[　]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{{(\log x)}^2-3}{x} (x>0)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$\log x=t$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_a^{e^3} f(x) \, dx=0$となるような正の数$a$をすべて求めよ．

関数$f(x)=2 \sqrt{1-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ 2 \sqrt{1-a^2})$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<a<1$とする．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$d^2$を$a$を用いて表せ．
(4)$d$の値が最小となるような$a$の値と，そのときの$d$の値を求めよ．

$a$を$0$以上の実数とし，
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2-ax| \, dx \]
とする．

(1)$S(2)=[ア]$である．

(2)$\displaystyle S \left( \frac{1}{2} \right)=[イ]$である．

(3)$a>1$のとき，$S(a)=[ウ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$S(a)=[エ]$である．
(4)$S(a)$は$a=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．

数列$1,\ 1,\ 4,\ 1,\ 4,\ 7,\ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 1,\ \cdots$について，次の問に答えよ．

(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$5000<S_n<6000$を満たす$n$はいくつあるか．その個数を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$のとき，$x^3y+xy^3$の値は$[　]$である．
(2)不等式$-3<x^2-4x<45$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$3$次方程式$x^3-3x^2+4x-2=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=[　]$である．
(4)座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(2,\ -2)$，$\mathrm{B}(5,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ -2)$，$\mathrm{D}(3,\ a)$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$が垂直になるのは$a=[　]$のときである．
(5)$xy$平面上の$2$点$(0,\ 1)$，$(0,\ -1)$からの距離の和が$4$である曲線を
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
の形で表すと$(a,\ b)=[　]$である．

座標平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}(x-t)(x-t-1)$（ただし$x>0,\ t>0$）がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(t+1,\ 0)$における接線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える．$\ell_1$の傾きは$[ア][イ]$，$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$であり，点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{[オ]}{[カ]}$である．また，$\ell_1$，$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[キ]}{[ク][ケ]} \log [コ]-\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]} \]
である．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{[ソ][タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツ]}$のときである．また，$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．