「不等号」について
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私立 九州産業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
私立 九州産業大学 2015年 第5問$\displaystyle 0<x \leqq \frac{1}{2}\pi$のとき，関数$f(x)=\{1+\log (\sin x)\} \cos x$，曲線$L:y=f(x)$について考える．
(1)$f(x)=0$のとき$\sin x$の値は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ウ]$である．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx=[エ]+C$である．ここで$C$は積分定数とする．
(4)曲線$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$である．
(1)$f(x)=0$のとき$\sin x$の値は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ウ]$である．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx=[エ]+C$である．ここで$C$は積分定数とする．
(4)曲線$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$である．
私立 昭和大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6-x$とする．ただし，$1<x<5$である．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第5問関数$\displaystyle y=\sin 2x+2 \sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\frac{5}{4}$および$u=\sin x+\cos x$について以下の各問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$u$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$u$で表せ．
(3)$y$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$u$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$u$で表せ．
(3)$y$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6-x$とする．ただし，$1<x<5$である．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第4問$1$から$7$までの番号を$1$つずつ書いた$7$枚のカードが袋の中に入っている．無作為に同時に$3$枚のカードを取り出し，その番号を$x,\ y,\ z$（ただし$x<y<z$）とおく．
(1)$3$つの番号の積$xyz$が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$3$つの番号の積$xyz$が奇数になる確率を求めよ．
(3)$x=3$となる確率を求めよ．
(4)$z \geqq 5$となる確率を求めよ．
(1)$3$つの番号の積$xyz$が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$3$つの番号の積$xyz$が奇数になる確率を求めよ．
(3)$x=3$となる確率を求めよ．
(4)$z \geqq 5$となる確率を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第4問一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$0<a<1$として，線分$\mathrm{AD}$を$(1-a):a$に内分する点を$\mathrm{O}$，線分$\mathrm{CE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{y}$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos^2 \theta$を$a$で表せ．
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos^2 \theta$を$a$で表せ．
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第5問$x,\ y,\ z$を実数とするとき，次の$(1)$～$(6)$までの文中の空欄に当てはまるものを$(ｱ)$～$(ｴ)$から一つ選べ．
(1)$xyz=0$は$xy=0$の$[ ]$．
(2)$x+y+z=0$は$x+y=0$の$[ ]$．
(3)$x(y^2+1)=0$は$x=0$の$[ ]$．
(4)$x^2+y^2=0$は$|x-y|=x+y$の$[ ]$．
(5)$xy<0$は$|x+y|>x+y$の$[ ]$．
(6)$(x^2+y^2)(x^2+z^2)=0$は$x=0$の$[ ]$．
\mon[(ｱ)] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[(ｲ)] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[(ｳ)] 必要十分条件である
\mon[(ｴ)] 必要条件でも十分条件でもない
(1)$xyz=0$は$xy=0$の$[ ]$．
(2)$x+y+z=0$は$x+y=0$の$[ ]$．
(3)$x(y^2+1)=0$は$x=0$の$[ ]$．
(4)$x^2+y^2=0$は$|x-y|=x+y$の$[ ]$．
(5)$xy<0$は$|x+y|>x+y$の$[ ]$．
(6)$(x^2+y^2)(x^2+z^2)=0$は$x=0$の$[ ]$．
\mon[(ｱ)] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[(ｲ)] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[(ｳ)] 必要十分条件である
\mon[(ｴ)] 必要条件でも十分条件でもない
私立 昭和大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第2問正の整数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を
\[ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ \cdots \]
のように$1$列に並べる．ここで，$2$つの組$(a_i,\ b_i) (i=1,\ 2)$について，$a_1+b_1<a_2+b_2$ならば$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べ，また，$a_1+b_1=a_2+b_2$ならば，$a_1<a_2$のとき$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べるものとする．次の各問に答えよ．なお，必要ならば公式
\[ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \]
を使ってよい．
(1)組$(5,\ 5)$は初めから何番目にあるか．
(2)$m,\ n$を正の整数とする．組$(m,\ n)$は初めから何番目にあるか．
(3)初めから$200$番目にある組を求めよ．
(4)初めから$n$番目の組が$(a,\ b)$であるとき，$c_n=ab$とおく．和$c_1+\cdots +c_{200}$を求めよ．
\[ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ \cdots \]
のように$1$列に並べる．ここで，$2$つの組$(a_i,\ b_i) (i=1,\ 2)$について，$a_1+b_1<a_2+b_2$ならば$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べ，また，$a_1+b_1=a_2+b_2$ならば，$a_1<a_2$のとき$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べるものとする．次の各問に答えよ．なお，必要ならば公式
\[ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \]
を使ってよい．
(1)組$(5,\ 5)$は初めから何番目にあるか．
(2)$m,\ n$を正の整数とする．組$(m,\ n)$は初めから何番目にあるか．
(3)初めから$200$番目にある組を求めよ．
(4)初めから$n$番目の組が$(a,\ b)$であるとき，$c_n=ab$とおく．和$c_1+\cdots +c_{200}$を求めよ．