「不等号」について
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私立 東北学院大学 2015年 第1問$2$次関数$y=x^2-mx+m^2-3m$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$m$は定数である．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$x$軸と$C$との共有点が$1$点$\mathrm{P}$だけであるとき，$m$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$x$軸の$x \geqq 1$の部分と$C$とが，異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$x$軸と$C$との共有点が$1$点$\mathrm{P}$だけであるとき，$m$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$x$軸の$x \geqq 1$の部分と$C$とが，異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めよ．
私立 東北学院大学 2015年 第4問自然数$n$に対し，次の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．
(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．
私立 神奈川大学 2015年 第1問次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．
(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 東京医科大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．
私立 東京医科大学 2015年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 {\left( x \sqrt{1-x^2} \right)}^3 \, dx=\frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)座標平面における曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \sqrt{x} (x>0)$上に点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分$\mathrm{OP}$を考える．線分$\mathrm{OP}$と曲線$C$により囲まれた図形の面積を$A$とし，線分$\mathrm{OP}$を一辺とする正方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，面積比$\displaystyle \frac{A}{S}$のとり得る最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エ]}{[オカ]}$である．
(1)$\displaystyle \int_0^1 {\left( x \sqrt{1-x^2} \right)}^3 \, dx=\frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)座標平面における曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \sqrt{x} (x>0)$上に点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分$\mathrm{OP}$を考える．線分$\mathrm{OP}$と曲線$C$により囲まれた図形の面積を$A$とし，線分$\mathrm{OP}$を一辺とする正方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，面積比$\displaystyle \frac{A}{S}$のとり得る最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エ]}{[オカ]}$である．
私立 東邦大学 2015年 第12問連立不等式$|x| \leqq 1$，$|y| \leqq 1$で表される領域を$x$軸および$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体を，それぞれ$X,\ Y$とする．$X$と$Y$の共通部分の体積は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
私立 東邦大学 2015年 第15問$k$を実数とする．$x$の$3$次方程式$x(x^2-4k+4)+k(k-2)^2=0$の解がすべて実数であるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]} \leqq k \leqq [ツ]$である．
私立 西南学院大学 2015年 第2問$0 \leqq x<\pi$のとき，以下の問に答えよ．
(1)$\sin 2x-\cos x=0$の解は，小さい順に$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}\pi,\ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi,\ \frac{[タ]}{[チ]}\pi$である．
(2)$\sin 2x \geqq \cos 2x$の解は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
(1)$\sin 2x-\cos x=0$の解は，小さい順に$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}\pi,\ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi,\ \frac{[タ]}{[チ]}\pi$である．
(2)$\sin 2x \geqq \cos 2x$の解は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
私立 西南学院大学 2015年 第3問以下の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．
(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．
私立 九州産業大学 2015年 第4問空間内に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$が与えられている．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値は$[ア]$である．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CX}}|=2$となる点$\mathrm{X}(a,\ b,\ c)$のうち，$a>0$となる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[ウ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{DG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値は$[エ]$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値は$[ア]$である．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CX}}|=2$となる点$\mathrm{X}(a,\ b,\ c)$のうち，$a>0$となる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[ウ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{DG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値は$[エ]$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である．