曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>1)$における接線を$\ell$とおく．$C$と$y$軸の共有点を$\mathrm{A}$，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．原点を$\mathrm{O}$とおき，三角形$\mathrm{AOQ}$の面積を$S(t)$とおく．$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(t)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を求め，$S(t)$を$t$で表せ．
(3)$T(t)$を$t$で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to 1+0}\frac{T(t)}{S(t)}$を求めよ．

$n$を正の偶数とする．次の条件をみたす整数解$(x,\ y)$の個数を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
y \leqq \displaystyle -\frac{1}{2}x+n \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，不等式$3^n>n^2$を示せ．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(ii) 直線$\mathrm{MN}$と直線$\mathrm{BC}$は直交することを示せ．

$f(x)=x^2-4x+1$とする．

(1)関数$y=f(|x|)$のグラフ$C$をかけ．
(2)$y=ax (a>0)$で表される直線$\ell$が，$C$とちょうど$3$個の共有点をもつとする．このとき定数$a$の値を求めよ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形のうち，$\ell$より上側にある部分の面積を求めよ．

$a>b>0$をみたす実数$a,\ b$に対し，曲線$y=ax^2$を$C_1$とし，曲線$y=bx^2$を$C_2$とする．$C_1$上の点$(t,\ at^2) (t \neq 0)$での接線を$L_0$とする．$L_0$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$x_1,\ x_2$とする．

(1)$x_1+x_2$と$x_1x_2$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)$C_2$上の点$(x_1,\ b{x_1}^2)$，$(x_2,\ b{x_2}^2)$における接線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とする．$L_1$と$L_2$の交点の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(3)$t$の値が変化するとき，$L_1$と$L_2$の交点の軌跡を求めよ．

正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，頂点を$\mathrm{O}$とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える．正方形$\mathrm{ABCD}$の$1$辺の長さは$2$で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\sqrt{3}$とする．また，$\mathrm{A}$から$\mathrm{OB}$に下ろした垂線を$\mathrm{AM}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積，および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}=\theta (0<\theta<\pi)$の値を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}-1} \]
で定める．

(1)$y=\log (e^x+e^{-x}-1)$を微分せよ．
(2)$f(x) \geqq e^x-1$となるような$x$の値の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=e^x-1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)曲線$C:y=x(x-1)(x+a)$上の点$(1,\ 0)$における接線が$C$自身と$x=3$において共有点をもつ．このとき，定数$a$の値を求めよ．
(5)曲線$C:y=|x^2-4|$と直線$\ell:y=2x+4$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

半円$C_1:x^2+y^2=16 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=x^2+a$について，次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が相異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{O}={60}^\circ$であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標および$a$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．
(3)$(2)$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3} \left( 0<\theta<\frac{3}{4} \pi \right)$であるとする．

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta-\cos^3 \theta=\frac{[ウエ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コサ]}$である．

(3)$\displaystyle \tan \theta=\frac{[シ]+\sqrt{[スセ]}}{[ソ]}$である．