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私立 龍谷大学 2015年 第4問$x \geqq 1,\ y \geqq 1$の範囲で
\[ k=(\log x)^2(\log y) \]
を考える．$xy=e^3$として次の問いに答えなさい．
(1)$k$を$x$で表しなさい．また，$x$の取り得る値の範囲を求めなさい．
(2)$x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$k$の最大値と最小値を求めなさい．
\[ k=(\log x)^2(\log y) \]
を考える．$xy=e^3$として次の問いに答えなさい．
(1)$k$を$x$で表しなさい．また，$x$の取り得る値の範囲を求めなさい．
(2)$x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$k$の最大値と最小値を求めなさい．
私立 同志社大学 2015年 第2問$\alpha$は$0<\alpha<\pi$を満たす実数，$n,\ k$は正整数として，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を$\displaystyle \cos \frac{(2k-1) \alpha}{2n}$と$\displaystyle \cos \frac{(2k+1) \alpha}{2n}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \alpha}{n}$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\alpha}{2n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を$\displaystyle \cos \frac{(2k-1) \alpha}{2n}$と$\displaystyle \cos \frac{(2k+1) \alpha}{2n}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \alpha}{n}$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\alpha}{2n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を求めよ．
私立 駒澤大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)円$x^2+y^2=5$と直線$y=x+k$が共有点をもつとき，定数$k$の範囲は，
\[ -\sqrt{[ア][イ]} \leqq k \leqq \sqrt{[ア][イ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^3-3x^2-72x+18$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ウ]x^{\mkakko{エ}}-[オ]x-[カ][キ] \]
となる．また，関数$f(x)$は$x=[ク][ケ]$のとき極大値$[コ][サ][シ]$をとり，$x=[ス]$のとき極小値$\kakkofour{セ}{ソ}{タ}{チ}$をとる．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$がある．このとき，
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{[ツ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{[テ][ト]}$，
$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[ナ]$，$\angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ]}^\circ$
となる．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
(1)円$x^2+y^2=5$と直線$y=x+k$が共有点をもつとき，定数$k$の範囲は，
\[ -\sqrt{[ア][イ]} \leqq k \leqq \sqrt{[ア][イ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^3-3x^2-72x+18$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ウ]x^{\mkakko{エ}}-[オ]x-[カ][キ] \]
となる．また，関数$f(x)$は$x=[ク][ケ]$のとき極大値$[コ][サ][シ]$をとり，$x=[ス]$のとき極小値$\kakkofour{セ}{ソ}{タ}{チ}$をとる．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$がある．このとき，
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{[ツ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{[テ][ト]}$，
$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[ナ]$，$\angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ]}^\circ$
となる．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
私立 東京理科大学 2015年 第3問楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$は次の条件を満たすとする．
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}
(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}
(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}
私立 同志社大学 2015年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)関数$f(x)=3^x$の導関数は$f^\prime(x)=[ア]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[イ]$である．したがって，座標平面内において，点$(1,\ 3)$における曲線$C:y=f(x)$の接線$\ell$の方程式は$y=[ウ]$であり，法線$m$の方程式は$y=[エ]$である．さらに，曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸と直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，法線$m$と$x$軸の交点の座標は$([カ],\ 0)$である．
(2)$1$から$9$までの番号札$9$枚を入れた箱がある．その箱から番号札を$1$枚ずつ$2$回取り出して，その数を順に$x,\ y$とする．ただし，$1$度取り出した札はもとに戻さないとする．$\displaystyle \frac{y}{x}$が整数になる確率は$[キ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \leqq \frac{1}{2}$となる確率は$[ク]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \geqq 3$となる確率は$[ケ]$である．また，$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3$となる確率は$[コ]$である．
(1)関数$f(x)=3^x$の導関数は$f^\prime(x)=[ア]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[イ]$である．したがって，座標平面内において，点$(1,\ 3)$における曲線$C:y=f(x)$の接線$\ell$の方程式は$y=[ウ]$であり，法線$m$の方程式は$y=[エ]$である．さらに，曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸と直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，法線$m$と$x$軸の交点の座標は$([カ],\ 0)$である．
(2)$1$から$9$までの番号札$9$枚を入れた箱がある．その箱から番号札を$1$枚ずつ$2$回取り出して，その数を順に$x,\ y$とする．ただし，$1$度取り出した札はもとに戻さないとする．$\displaystyle \frac{y}{x}$が整数になる確率は$[キ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \leqq \frac{1}{2}$となる確率は$[ク]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \geqq 3$となる確率は$[ケ]$である．また，$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3$となる確率は$[コ]$である．
私立 同志社大学 2015年 第3問$\theta_1,\ \theta_2,\ a,\ b$は$\displaystyle 0<\theta_1<\theta_2<\frac{\pi}{2}$，$0<a<b$を満たす実数とする．連立不等式
\[ a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,\quad 0 \leqq y \leqq (\tan \theta_1)x \]
の表す領域を$D$とし，連立不等式
\[ a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,\quad (\tan \theta_1)x \leqq y \leqq (\tan \theta_2)x \]
の表す領域を$E$とする．次の問いに答えよ．
(1)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{\theta_2 \to \theta_1+0} \frac{W}{\theta_2-\theta_1}$を求めよ．
\[ a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,\quad 0 \leqq y \leqq (\tan \theta_1)x \]
の表す領域を$D$とし，連立不等式
\[ a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,\quad (\tan \theta_1)x \leqq y \leqq (\tan \theta_2)x \]
の表す領域を$E$とする．次の問いに答えよ．
(1)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{\theta_2 \to \theta_1+0} \frac{W}{\theta_2-\theta_1}$を求めよ．
私立 同志社大学 2015年 第2問連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 2 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x-y \leqq \sqrt{2} \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
(1-\sqrt{2})(x+1) \leqq y+1 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$k=x+\sqrt{3}y$がとる値の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．また，$k$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$m=x^2+y^2+\sqrt{2}x-\sqrt{6}y$がとる値の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．また，$m$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 2 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x-y \leqq \sqrt{2} \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
(1-\sqrt{2})(x+1) \leqq y+1 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$k=x+\sqrt{3}y$がとる値の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．また，$k$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$m=x^2+y^2+\sqrt{2}x-\sqrt{6}y$がとる値の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．また，$m$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
私立 獨協医科大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．
(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．
私立 獨協医科大学 2015年 第4問$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．
(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．
(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．
私立 獨協医科大学 2015年 第5問$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．