関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える．

(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$について，等式
\[ \sin x-\sqrt{3} \cos x=[ス] \sin \left( x-\frac{\pi}{[セ]} \right) \]
が成り立つ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$を満たす実数$x$について，無限等比級数
\[ 1+(\sin x-\sqrt{3} \cos x)+{(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}^2+{(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}^3+\cdots \]
は$\displaystyle \frac{\pi}{[ソ]}<x<\frac{\pi}{[タ]},\ \frac{[チ]}{[ツ]} \pi<x<\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で収束し，その和は
\[ \frac{1}{1-[ナ] \sin \left( x-\displaystyle\frac{\pi}{[ニ]} \right)} \]
である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．

実数$k$は$0<k<2$をみたし，$xy$平面上の曲線$C$を$y=-x^2+4 (x \geqq 0)$，直線$\ell$を$y=4-k^2$とする．次の各問に答えよ．

(1)$y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれる部分の面積を$S_1$とすると，$\displaystyle S_1=\frac{[ア]}{[イ]}k^{\mkakko{ウ}}$となる．
(2)直線$x=2$，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，
\[ S_2=\frac{[エ]}{[オ]}k^{\mkakko{カ}}-[キ]k^{\mkakko{ク}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
となる．
(3)$2$つの面積の和$S=S_1+S_2$を考える．$S$の最小値は$[サ]$である．このとき$k=[シ]$である．

一般項が$\displaystyle a_n=\sin \frac{3n \pi}{7}$で定義される数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．次の各問に答えよ．

(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．

実数$x$が$x \geqq 0$の範囲の値をとるとき，関数
\[ f(x)=\int_0^x (t^2-4t+2)e^{-t} \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(a^3,\ b^3)$がある．ただし，$a>0$，$b>0$とする．点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が$x$軸，$y$軸の正の部分と交わり，それぞれの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\ell$が$x$軸となす鋭角を$\theta$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$f(\theta)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$を$a,\ b,\ \sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$f(\theta)$が最小となる$\theta$の値を$\alpha$とおく．$\tan \alpha$と$f(\alpha)$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．

不等式$\cos 2\theta<\sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$[ウ]$である．

関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．