次の問いに答えよ．

(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2+ax+b$と$x$軸との交点の座標は$(\sin \theta,\ 0)$，$(\sqrt{3} \cos \theta,\ 0)$である．この放物線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とし，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，つねに$x^2-2ax+a>0$が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta=0$を満たす$\theta$の値は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ア]}$，$\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin^2 \theta-3 \cos^2 \theta \geqq 0$を満たす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\pi}{[エ]} \leqq \theta \leqq \frac{[オ]}{[カ]} \pi$，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．

三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=2 \sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$である．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$k:(1-k)$に，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$を$(1-k^2):k^2$に内分する点である．ただし$0<k<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([ア]-[イ]) \overrightarrow{a}+[ウ] \overrightarrow{b}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[エオ]$である．
(3)点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BR}$とおくと$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}$である．
(4)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{a}+([コ]-{[サ]}^{\mkakko{シ}}) \overrightarrow{b}$である．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=[ス]k^3-[セ]k^2+[ソ]k \]
である．この値は$\displaystyle k=\frac{[タ]}{[チ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$をとる．

$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．

関数$y=3 \cdot 4^x-3 \cdot 2^{x+1}+8 (0 \leqq x \leqq 2)$について，$2^x=t$とする．

(1)$t$のとりうる値の範囲は$[サ] \leqq t \leqq [シ]$である．
(2)$y=[ス]t^2-[セ]t+[ソ] ([サ] \leqq t \leqq [シ])$である．
(3)$y$は$t=[タ]$のとき，すなわち，$x=[チ]$のとき，最大値$[ツテ]$をとり，$t=[ト]$のとき，すなわち，$x=[ナ]$のとき，最小値$[ニ]$をとる．