「不等号」について
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私立 東北学院大学 2015年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である．
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である．ただし$0<\alpha<\pi$とする．
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である．
(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である．
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である．ただし$0<\alpha<\pi$とする．
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である．
私立 東北学院大学 2015年 第3問放物線$C:y=x^2-x$について以下の問いに答えよ．ただし$a>0$とする．
(1)点$(0,\ -a)$を通る$C$の$2$つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$つの接点を通る直線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$つの接線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$(0,\ -a)$を通る$C$の$2$つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$つの接点を通る直線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$つの接線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第1問$f(x)=2x^2-x$，$g(x)=x^2+3x+a$とする．$-1 \leqq x \leqq 1$のすべての$x$に対して$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲は$[ ]$である．また，$-1 \leqq x \leqq 1$の少なくとも$1$つの$x$に対して$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲は$[ ]$である．
私立 福岡大学 2015年 第2問$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ ]$であり，また，$K=2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+2 \cos \theta-5$のとりうる値の範囲は$[ ]$である．
私立 福岡大学 2015年 第7問$a=\log_2 3$，$b=\log_2 5$とする．このとき$2^{-2a+b+1}$と$2^{2a-3}$の値を求めると
\[ (2^{-2a+b+1},\ 2^{2a-3})=[ ] \]
である．さらに，$a=\log_2 3>1.584$，$b=\log_2 5<2.322$であることを用いて，$2^{0.16}$の値を小数第$1$位まで求めると$2^{0.16}=[ ]$である．
\[ (2^{-2a+b+1},\ 2^{2a-3})=[ ] \]
である．さらに，$a=\log_2 3>1.584$，$b=\log_2 5<2.322$であることを用いて，$2^{0.16}$の値を小数第$1$位まで求めると$2^{0.16}=[ ]$である．
私立 福岡大学 2015年 第8問単位円周上の$2n$個の点$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \cos \frac{k}{n}\pi,\ \sin \frac{k}{n}\pi \right) (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2n-1)$を頂点とする正$2n$角形がある．この$2n$個の点$\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{2n-1}$から$4$点を選び，順に結んで$4$角形を作るとき，$4$つの角がすべて直角である$4$角形は$[ ]$通りある．また，$4$つの角がどれも直角ではない$4$角形は$[ ]$通りある．ただし，$n \geqq 3$である．
私立 福岡大学 2015年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$t=\sin x$とおくとき，$\displaystyle y=\sin x \cos \left( \frac{\pi}{6}-x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6}+x \right)$を$t$の式で表すと$y=[ ]$であり，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$y$の最小値は$[ ]$である．
(2)一般項$a_n=2nr^{n-1} (n=1,\ 2,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めると，$r=1$のとき$[ ]$であり，$r=2$のとき$[ ]$である．
(1)$t=\sin x$とおくとき，$\displaystyle y=\sin x \cos \left( \frac{\pi}{6}-x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6}+x \right)$を$t$の式で表すと$y=[ ]$であり，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$y$の最小値は$[ ]$である．
(2)一般項$a_n=2nr^{n-1} (n=1,\ 2,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めると，$r=1$のとき$[ ]$であり，$r=2$のとき$[ ]$である．
私立 甲南大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．
(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．
私立 甲南大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．
(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．
私立 甲南大学 2015年 第3問$0<\theta<1$とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\frac{1}{\theta}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．また，辺$\mathrm{AB}$を$(1-\theta):\theta$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S$とする．$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{CD}$を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S$とする．$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{CD}$を求めよ．