関数$F(x),\ G(x),\ H(x)$を

$\displaystyle F(x)=\int_0^1 \left( \frac{x}{3}-t \right)e^{-2t} \, dt \quad (x>0)$

$\displaystyle G(x)=\int_0^x \left( \frac{x}{3}-t \right)e^{-2t} \, dt \quad (x>0)$

$\displaystyle H(x)=\int_0^x |\displaystyle\frac{x|{3}-t }e^{-2t} \, dt \quad (x>0)$

と定める．ここで，$e$は自然対数の底である．$F(x)$，$G(x)$，$H(x)$は次のように書き表される．

$\displaystyle F(x)=\left( \frac{\mkakko{ア}}{\mkakko{イ}}-\frac{\mkakko{ウ}}{\mkakko{エ}}e^{-\mkakko{オ}} \right)x+\left( -\frac{\mkakko{カ}}{\mkakko{キ}}+\frac{\mkakko{ク}}{\mkakko{ケ}}e^{-\mkakko{コ}} \right)$

$\displaystyle G(x)=\left( \frac{\mkakko{サ}}{\mkakko{シ}}x+\frac{\mkakko{ス}}{\mkakko{セ}} \right) e^{-\mkakko{ソ}x}+\left( \frac{\mkakko{タ}}{\mkakko{チ}}x-\frac{\mkakko{ツ}}{\mkakko{テ}} \right)$

$\displaystyle H(x)=-\left( \frac{\mkakko{ト}}{\mkakko{ナ}}x+\frac{\mkakko{ニ}}{\mkakko{ヌ}} \right) e^{-\mkakko{ネ}x}+\frac{\mkakko{ノ}}{\mkakko{ハ}}e^{-\frac{\mkakko{ヒ}}{\mkakko{フ}}x}+\left( \frac{\mkakko{ヘ}}{\mkakko{ホ}}x-\frac{\mkakko{マ}}{\mkakko{ミ}} \right)$

$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．

(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．

定数$a$に対し，
\[ f(x)=a \sin 2x-\tan x \quad \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする．実数$\theta$を，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)不定積分
\[ \int f(x) \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする．このとき，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \]
を$a$の$1$次式で表せ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

次の問いに答えよ．

(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．

関数
\[ f(x)=\tan^2 x+8 \cos 2x \quad \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right) \]
は，$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]} \pi$のとき，最小値$[シ]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．

関数
\[ f(x)=\tan^2 x+8 \cos 2x \quad \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right) \]
は，$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]} \pi$のとき，最小値$[シ]$をとる．

座標平面の第$1$象限に曲線$\displaystyle C_0:y=\frac{1}{x}+x (x>0)$と曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$がある．$C_0$上の点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a}+a \right)$における$C_0$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする．

(1)このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2)接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき，
\[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \]
が成り立つことを示せ．

次の文章の$[ア]$から$[ム]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めなさい．

(1)$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする．
解と係数の関係により，
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である．したがって


$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$

$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$


となるので，$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である．
(2)定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．

(i) 余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす．
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である．
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である．

(3)大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．

(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である．
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である．
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である．

正の定数$a (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．