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私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．
(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．
（図は省略）
(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．
(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．
（図は省略）
私立 上智大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(ⅰ)$ \ $a>0$，$a \neq 1$，$M>0$である実数$a,\ M$に対し，$a$を底とする$M$の対数$\log_a M$の定義を述べよ．
$(ⅱ)$ $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$c \neq 1$である実数$a,\ b,\ c$に対し，底の変換公式
\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数$x$の自然対数$\log x$は
\[ \log x=\int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]
と表される．これを用いて，正の実数$x,\ y$に対し
\[ \log (xy)=\log x+\log y \]
が成り立つことを示せ．
(1)$(ⅰ)$ \ $a>0$，$a \neq 1$，$M>0$である実数$a,\ M$に対し，$a$を底とする$M$の対数$\log_a M$の定義を述べよ．
$(ⅱ)$ $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$c \neq 1$である実数$a,\ b,\ c$に対し，底の変換公式
\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数$x$の自然対数$\log x$は
\[ \log x=\int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]
と表される．これを用いて，正の実数$x,\ y$に対し
\[ \log (xy)=\log x+\log y \]
が成り立つことを示せ．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の放物線
\[ y={(x-29)}^2-3600 \]
と$x$軸の共有点の$x$座標は$[ア]$と$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$とする．
(2)$x+y=1$かつ$0<x<1$を満たす実数$x,\ y$に対して
\[ A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},\quad B=\left( 1+\frac{1}{x^2} \right) \left( 1+\frac{1}{y^2} \right) \]
とおく．
(i) $A$のとり得る値の最小値は$[ウ]$である．
(ii) すべての$x,\ y$に対して
\[ B=[エ]A^2+[オ]A+[カ] \]
が成り立つ．
(iii) $B$のとり得る値の最小値は$[キ]$である．
(1)座標平面上の放物線
\[ y={(x-29)}^2-3600 \]
と$x$軸の共有点の$x$座標は$[ア]$と$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$とする．
(2)$x+y=1$かつ$0<x<1$を満たす実数$x,\ y$に対して
\[ A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},\quad B=\left( 1+\frac{1}{x^2} \right) \left( 1+\frac{1}{y^2} \right) \]
とおく．
(i) $A$のとり得る値の最小値は$[ウ]$である．
(ii) すべての$x,\ y$に対して
\[ B=[エ]A^2+[オ]A+[カ] \]
が成り立つ．
(iii) $B$のとり得る値の最小値は$[キ]$である．
私立 上智大学 2015年 第3問ある工場では製品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を生産している．それらを生産するには，原料$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が必要である．$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である．$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である．原料の在庫はそれぞれ，$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である．また，$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円，$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある．ただし，$c>0$，$p>0$，$q>0$とする．以下，在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする．
(1)$c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2)$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする．
(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>[ユ]$である．
(1)$c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2)$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする．
(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>[ユ]$である．
私立 上智大学 2015年 第2問座標平面上で$2$つのベクトル
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える．ただし，$0<p<1$，$q>1$とする．$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして，以下の問に答えよ．
(1)任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ．
(2)$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする．
条件：任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる．
(i) $p$および$q$の値を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，原点を始点として$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$を図示せよ．
(iii) 実数$a$に対して，
\[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \]
とおく．任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える．ただし，$0<p<1$，$q>1$とする．$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして，以下の問に答えよ．
(1)任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ．
(2)$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする．
条件：任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる．
(i) $p$および$q$の値を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，原点を始点として$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$を図示せよ．
(iii) 実数$a$に対して，
\[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \]
とおく．任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
私立 東京理科大学 2015年 第5問$x$を$2$より小さい実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．
(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．
(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．
ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．
ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}
\end{screen}
私立 上智大学 2015年 第2問$a$を正の実数とし，関数$f(x)=\sin x+a \sin 3x$を考える．
(1)$a=2$のとき，
\[ f(x)=[オ] \sin x+[カ] \sin^n x,\quad \text{ただし}n=[キ] \]
である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\displaystyle a>\frac{[ク]}{[ケ]}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のときである．
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(1)$a=2$のとき，
\[ f(x)=[オ] \sin x+[カ] \sin^n x,\quad \text{ただし}n=[キ] \]
である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\displaystyle a>\frac{[ク]}{[ケ]}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のときである．
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．