数列$a_n (1 \leqq n)$に対して新しい数列$b_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．まず$b_1=1$とする．つぎに$n>1$に対して
\[ a_{n-h}+b_h \quad (1 \leqq h \leqq \frac{n}{2}) \]
のなかで最小のものを$b_n$とする．さらに新しい数列$c_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．
\[ c_n=b_{n+1}-b_n \quad (1 \leqq n) \]
さて$a_n=n^2$のときを考えよう．このとき$b_n$はつぎのようになる．

$1,\ 2,\ 5,\ [$101$][$102$],\ 11, 14,\ 21,\ 22,\ [$103$][$104$],\ 36,\ 47,\ 50,$
$63,\ 70,\ 85,\ 86,\ 103,\ 112,\ 131,\ [$105$][$106$][$107$],\ \cdots$

$c_n=5$をみたす$n$は小さい順に
\[ n=[$108$][$109$],\ [$110$][$111$],\ [$112$][$113$],\ 39,\ \cdots \]
である．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
4x-y \leqq 2 \\
x+y \geqq 3 \\
x-y \geqq -7
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とするとき，次の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$y-2x$のとる値の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$3 \sin \theta+\cos \theta=1$を満たす$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 3$のとき，次の$x$の関数の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{5-x}+\frac{1}{3+x} \]

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．
\[ 2x^3+15x^2+6x-7 \]
(2)次の不等式を解け．
\[ 2^{2x}-2^{x+2}-32>0 \]
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$2$個を$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか．
(4)次の値を求めよ．
\[ 8^{\log_2 5} \]
(5)次の条件をすべてみたす$2$次関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(0)=2,\quad f^\prime(0)=-5,\quad f^\prime(1)=1 \]
(6)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_{-1}^2 (2x^2-4x+3) \, dx \]

関数$f(x)=|x^2-2x-3|-x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値および最小値を求めよ．

正の整数$n$に対し

$3^n$を$5$で割ったときの余りを$a_n$，
$3^n$を$7$で割ったときの余りを$b_n$

とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$a_{10}$の値を求めよ．
(2)$b_{20}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^m (a_k+b_k) \geqq 300$となる最小の正の整数$m$を求めよ．

実数$a,\ b$に対し
\[ f(a,\ b)=a^2-ab+b+1 \]
とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)「すべての$a$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$b$の必要十分条件を求めよ．
(2)「$b \geqq 0$であるすべての$b$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$a$の必要十分条件を求めよ．
(3)「すべての$b$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$a$の必要十分条件を求めよ．