次の問いに答えよ．

(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．

(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は，ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする．

(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ．
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．図で示すように，円$C_1$，$C_2$を以下の$(ⅰ)$～$\tokeishi$で定める．

(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．

円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．
（図は省略）

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．

$\triangle \mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta$，$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{\pi}{2}$とする．点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次で定める．
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし，点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする．実数$\theta_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める．

(1)$\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ．
（図は省略）

複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし，原点を通る円を$C$とする．また，$\mathrm{P}(z)$，$\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし，$\displaystyle 0<\arg{z}<\arg{w}<\frac{\pi}{2}$とする．さらに，$\displaystyle R=\frac{z(w-2)}{w(z-2)}$とおく．

(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ．

定数$a$は$0<a<1$とし，また$n$は正の整数とする．ただし，$n=1$のときは$(a-x)^{n-1}=1$とする．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$R_n$を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．

$a>0$とする．関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のときの$2$つの関数のグラフをかけ．
(2)$2$つの関数のグラフが$2$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．
(3)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき，それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ．

$0<\theta<\pi$とする．単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{C}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．