$xy$平面内の領域
\[ x^2+y^2 \leqq 2,\quad |x| \leqq 1 \]
で，曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ．

ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある．「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする．この装置のボタンを$20$回押したとき，$1$回以上「あたり」の出る確率は$36 \, \%$である．$1$回以上「あたり」の出る確率が$90 \, \%$以上となるためには，この装置のボタンを最低何回押せばよいか．必要なら$0.3010<\log_{10}2<0.3011$を用いてよい．

座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$，$\mathrm{P}(t,\ -t)$，$\mathrm{Q}(0,\ -t)$（ただし，$t>0$）をとる．$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．

(1)$\tan \angle \mathrm{APQ}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}$を考えることにより，$\tan \theta$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$（ただし，$t>0$）における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が，$y$軸，直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数
\[ f_n(\theta)=(1+\cos \theta) \sin^{n-1} \theta \]
の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値$M_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(M_n)}^n$を求めよ．

$xyz$空間において，平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．

この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

座標平面上に曲線$C_1:y=x^3-x$と，$C_1$を$x$軸方向に$t$（ただし，$t>0$）だけ平行移動させた曲線$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は$2$つの共有点を持つという．

(1)$t$の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

座標平面上の$2$つの放物線

$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$

が点$(-1,\ 1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下で定める．


$a_1=2,\quad b_1=1$

$\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=2a_n+3b_n \\
b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$



(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，


$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$

$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$


が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ．

(3)数列$\{e_n\}$を
\[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，$n \geqq 3$ならば
\[ |e_n|<0.001 \]
であることを示せ．ただし，$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい．