「不定積分」について
タグ「不定積分」の検索結果
（3ページ目：全131問中21問～30問を表示）
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
国立 東京農工大学 2015年 第4問$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第4問座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．
国立 高知大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数で$a \neq 1$とする．
(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．
(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}>x+1$を解け．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}>x+1$を解け．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．
国立 山梨大学 2015年 第2問座標平面上において，曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ e^{2a})$における接線$\ell$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 岩手大学 2015年 第5問関数$f(x)=\log (1+x)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{1}{n} \right)+f \left( \frac{2}{n} \right)+\cdots +f \left( \frac{n}{n} \right) \right\} \]
(3)関数$g(x)=xf(x-1)-x$とするとき，$g(x)$の最小値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{1}{n} \right)+f \left( \frac{2}{n} \right)+\cdots +f \left( \frac{n}{n} \right) \right\} \]
(3)関数$g(x)=xf(x-1)-x$とするとき，$g(x)$の最小値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問$\displaystyle y=\cos \frac{\pi x}{2} (0 \leqq x \leqq 1)$で与えられる曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形$S$について，以下の問いに答えよ．
(1)図形$S$の面積を求めよ．
(2)図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3)部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．
\[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4)図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として
\[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表せることを利用せよ．
(1)図形$S$の面積を求めよ．
(2)図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3)部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．
\[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4)図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として
\[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表せることを利用せよ．