「不定積分」について
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公立 福岡女子大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
国立 北海道大学 2010年 第4問$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
国立 信州大学 2010年 第5問次の問いに答えよ．
(1)四面体OABCにおいて，OA$\perp$BCかつOB$\perp$CAならば，OC$\perp$ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{4n^2-k^2}$を求めよ．
(1)四面体OABCにおいて，OA$\perp$BCかつOB$\perp$CAならば，OC$\perp$ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{4n^2-k^2}$を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して定積分$\displaystyle \int_0^2 \left| \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a} \right| \, dx$の値を$S(a)$とおく．$a$が$0 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して定積分$\displaystyle \int_0^2 \left| \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a} \right| \, dx$の値を$S(a)$とおく．$a$が$0 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2010年 第1問$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．
国立 長岡技術科学大学 2010年 第2問関数$f(x)=(ax+b)e^{-3x}$について以下の問いに答えなさい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．
国立 京都教育大学 2010年 第5問太郎君は関数$f(x)$を$x$について微分して導関数$f^\prime(x)=6x+6$を得た．次の(1)，(2)に答えよ．
(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．
\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}
\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$
\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．
(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．
\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}
\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$
\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．
国立 九州工業大学 2010年 第1問$a$を正の実数とする．また，対数は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
公立 広島市立大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
\mon[問1] 次の関数の導関数を求めよ．
\mon[(1)] $y=e^{2-3x}$
\mon[(2)] $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}$
\mon[問2] 次の不定積分を求めよ．
\mon[(1)] $\displaystyle \int \log (1+2x) \, dx$
\mon[(2)] $\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$
\mon[問1] 次の関数の導関数を求めよ．
\mon[(1)] $y=e^{2-3x}$
\mon[(2)] $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}$
\mon[問2] 次の不定積分を求めよ．
\mon[(1)] $\displaystyle \int \log (1+2x) \, dx$
\mon[(2)] $\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$
公立 岡山県立大学 2010年 第4問次の不定積分および定積分を求めよ．
(1)$\displaystyle \int \sin \left( \frac{\pi}{4}+x \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} -x \right) \cos x \, dx$
(2)$\displaystyle \int \frac{x \log (x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2+3e^x+e^{2x}} \, dx$
(1)$\displaystyle \int \sin \left( \frac{\pi}{4}+x \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} -x \right) \cos x \, dx$
(2)$\displaystyle \int \frac{x \log (x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2+3e^x+e^{2x}} \, dx$