「不定積分」について
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国立 鳥取大学 2011年 第3問曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第3問曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)不定積分$\displaystyle \int t^2e^t \, dt$を求めなさい．
(2)$x \geqq 0$で定義された関数
\[ F(x) = -x+\int_0^x (xt-t^2)e^t \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)不定積分$\displaystyle \int t^2e^t \, dt$を求めなさい．
(2)$x \geqq 0$で定義された関数
\[ F(x) = -x+\int_0^x (xt-t^2)e^t \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
国立 電気通信大学 2011年 第2問$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．
国立 東京学芸大学 2011年 第3問下の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int xe^{-2x} \, dx$，$\displaystyle \int x^2e^{-2x} \, dx$を求めよ．
(2)すべての実数$x$について
\[ f(x)=(2x^2+3)e^{-x}+\int_0^{\log 2}f(t)e^{-t} \, dt \]
をみたす関数$f(x)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)不定積分$\displaystyle \int xe^{-2x} \, dx$，$\displaystyle \int x^2e^{-2x} \, dx$を求めよ．
(2)すべての実数$x$について
\[ f(x)=(2x^2+3)e^{-x}+\int_0^{\log 2}f(t)e^{-t} \, dt \]
をみたす関数$f(x)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
国立 防衛医科大学校 2011年 第4問数列
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<\log_e8<2.1$，$2.1<\log_e9<2.2$，$2.30<\log_e10<2.31$である．
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<\log_e8<2.1$，$2.1<\log_e9<2.2$，$2.30<\log_e10<2.31$である．
国立 茨城大学 2011年 第1問以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)] $y=\sin^3 2x$
\mon[(ii)] $\displaystyle y=\log \frac{e^x}{e^x+1}$
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \left( 1+\frac{2}{x} \right)^2 \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^2-1} \, dx$
(4)定積分$\displaystyle \int_{-1}^{\log 2} e^{|x|}e^{x} \, dx$を求めよ．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)] $y=\sin^3 2x$
\mon[(ii)] $\displaystyle y=\log \frac{e^x}{e^x+1}$
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \left( 1+\frac{2}{x} \right)^2 \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^2-1} \, dx$
(4)定積分$\displaystyle \int_{-1}^{\log 2} e^{|x|}e^{x} \, dx$を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2011年 第3問$a$を正の定数とする．関数$f(x)=x(a-x)$，$g(x)=x^2(a-x)$に対し，$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=g(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．
(1)$g(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(2)$0<a \leqq 1$とする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が，$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積の$3$倍になるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a>1$とする．$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれてできる$2$つの図形の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めよ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．
(1)$g(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(2)$0<a \leqq 1$とする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が，$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積の$3$倍になるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a>1$とする．$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれてできる$2$つの図形の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めよ．