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聖マリアンナ医科大学 私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第3問
$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする.線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の中点を,それぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく.

このとき,以下の$[$1$]$~$[$6$]$について適切な値を,$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい.また,$[ア]$,$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して,解答欄に記入しなさい.
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると,
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる.
いま,線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$,線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$は,どの$2$つも平行ではないとする.このとき,線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である.また,$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと,$\overrightarrow{b}=[イ]$となる.
また,$\triangle \mathrm{PQR}$について,$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと,
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける.同様にして,$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく.線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと,$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる.
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選択肢: \quad 重心, \quad 内心, \quad 外心
\end{screen}
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