最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている．その後，4つの側面から1つの面を無作為に選び，その面が上面になるように置き直す操作を$n$回繰り返す．なお，サイコロの向かい合う面の目の数の和は7である．

(1)最後に1の目が上面にある確率を求めよ．
(2)最後に上面にある目の数の期待値を求めよ．

$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．

(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）