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山梨大学 国立 山梨大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた.一般に,$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である.この日の大気圧は,高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた.登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった.この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か.答は小数第$1$位を四捨五入し,整数で答えよ.
(2)ある店において,原価が$200$円,定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする.$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり,定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに,$N$は$5$ずつ増えることがわかっている.また,売り値は定価を超えず,原価も下回らないとする.この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と,そのときの$N$を求めよ.
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ.
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$,$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする.点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき,$z$の値を求めよ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2011年 第3問
正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある.$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ.水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする.ただし,長さの単位はcmとする.次の問いに答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け.
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき,容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする.$V$を$a$を用いて表せ.
(3)$T$を$a$を用いて表せ.
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする.$h$を$a$と$t$を用いて表せ.ただし,$0<t<T$とする.
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする.$v$を$a$と$t$を用いて表せ.ただし,$0<t<T$とする.
長崎大学 国立 長崎大学 2010年 第4問
$a$を$a>1$を満たす定数とする.原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び,点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ.このようにして得られる曲線OPQを,$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える.ただし,OPを含む部分を底面として,水平に置くものとする.次の問いに答えよ.

(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ.
(2)$m$を正の定数とする.この容器に,単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる.ただし,最初は水が全く入っていない状態とする.注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき,底面から水面までの高さを$h$,水面の上昇する速度を$v$とする.$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ.
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