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高知大学 国立 高知大学 2014年 第3問
丸いピザを包丁で,まっすぐに切る.$1$回切るとどんな切り方をしてもピザは$2$片に分割される.$2$回だと$3$片か$4$片に分割される.このとき,$n$回切ったときの最大分割数を$a_n$とおく.例えば$a_1=2$,$a_2=4$,$a_3=7$である.次の問いに答えよ.

(1)$a_3 \geqq 7$,$a_4 \geqq 11$,$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ.
(2)$n$回目に新しく切ったとき,その切り口はいくつかの線分に分かれる.その線分の数を$p_n$とおく.上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる.このときの$p_{n+1}$を求めよ.
(3)$a_n$を求めよ.
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか.
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「上手」とは・・・

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