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国立 高知大学 2014年 第3問丸いピザを包丁で，まっすぐに切る．$1$回切るとどんな切り方をしてもピザは$2$片に分割される．$2$回だと$3$片か$4$片に分割される．このとき，$n$回切ったときの最大分割数を$a_n$とおく．例えば$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=7$である．次の問いに答えよ．
(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．
(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．