以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$l \geqq 1$を定数とし，座標空間の点$\mathrm{A}$は平面$z=-1$上を，点$\mathrm{B}$は平面$z=1$上を，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=l$をみたしつつ動くとする．ただし$\mathrm{O}$は座標空間の原点である．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるためには$l \geqq [あ]$であることが必要十分である．また，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から$xy$平面へ垂線を下ろし，それぞれと$xy$平面との交点を$\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime$とするとき，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$かつ$\displaystyle \cos \angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OB}^\prime=\frac{2}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるのは$l=[い]$のときである．
(2)$l=[い]$のとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を
\[ \mathrm{A}(0,[う],-1),\quad \mathrm{B}([え],[お],1),\quad \mathrm{C}([か],[き],[く]) \]
とすると$\mathrm{OABC}$は正四面体をなす．ただし$[う],\ [え],\ [く]$はいずれも正とする．
また，正四面体$\mathrm{OABC}$を平面$y+3z=t$で切ったときの切り口は$[け]<t<[こ]$のとき四角形となる．その四角形は上底と下底の和が$[さ]$，高さが$[し]$の台形であり，その面積は$t=[す]$のとき最大値$[せ]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$y=(2x-1)(ax+b)$のグラフを$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線を$C$とする．$C$が$(1,\ 0)$，$(-1,\ 0)$を通るとき，定数$a$と$b$の値，および$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a \neq b$であり，$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの解$a$と$b$をもつとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)下底が$7$であり，高さが上底よりも$5$だけ長い台形がある．この台形の高さを$x$とするとき，台形の面積が$40$以上$60$以下であるような$x$の値の範囲を求めよ．

台形$\mathrm{ABCD}$があり，上底は$\mathrm{AD}=3$，下底は$\mathrm{BC}=6$であり，また$\mathrm{AB}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{2\pi}{3}$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|$を求めよ．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．