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東北医科薬科大学 私立 東北医科薬科大学 2014年 第2問
一辺の長さが$1$である正三角形を右図のように一段ずつ積み重ねていき,$k$段積み重ねた図形を$F_k$とおく.図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形$\triangle$の個数を$F_k(n)$とおく(下向きの正三角形$\bigtriangledown$は考えない).例えば$F_2(1)=3$,$F_2(2)=1$である.このとき,次の問に答えなさい.
(図は省略)

(1)$F_3(1)=[ア]$,$F_3(2)=[イ]$,$F_3(3)=[ウ]$である.
(2)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$1$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(1)=\frac{[エ]([エ]+[オ])}{[カ]} \]
である.
(3)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(n)=\frac{([キ]-n+[ク])([ケ]-n+[コ])}{[サ]} \]
である.ただし,$[ク]<[コ]$となるように表しなさい.
(4)図形$F_k$に表れる上向きの正三角形の個数は全部で
\[ \frac{[シ] ([ス]+[セ])([ソ]+[タ])}{[チ]} \]
である.ただし$[セ]<[タ]$となるように表しなさい.
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「上向き」とは・・・

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