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私立 東北医科薬科大学 2014年 第2問一辺の長さが$1$である正三角形を右図のように一段ずつ積み重ねていき，$k$段積み重ねた図形を$F_k$とおく．図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形$\triangle$の個数を$F_k(n)$とおく（下向きの正三角形$\bigtriangledown$は考えない）．例えば$F_2(1)=3$，$F_2(2)=1$である．このとき，次の問に答えなさい．
（図は省略）
(1)$F_3(1)=[ア]$，$F_3(2)=[イ]$，$F_3(3)=[ウ]$である．
(2)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$1$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(1)=\frac{[エ]([エ]+[オ])}{[カ]} \]
である．
(3)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(n)=\frac{([キ]-n+[ク])([ケ]-n+[コ])}{[サ]} \]
である．ただし，$[ク]<[コ]$となるように表しなさい．
(4)図形$F_k$に表れる上向きの正三角形の個数は全部で
\[ \frac{[シ] ([ス]+[セ])([ソ]+[タ])}{[チ]} \]
である．ただし$[セ]<[タ]$となるように表しなさい．
（図は省略）
(1)$F_3(1)=[ア]$，$F_3(2)=[イ]$，$F_3(3)=[ウ]$である．
(2)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$1$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(1)=\frac{[エ]([エ]+[オ])}{[カ]} \]
である．
(3)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(n)=\frac{([キ]-n+[ク])([ケ]-n+[コ])}{[サ]} \]
である．ただし，$[ク]<[コ]$となるように表しなさい．
(4)図形$F_k$に表れる上向きの正三角形の個数は全部で
\[ \frac{[シ] ([ス]+[セ])([ソ]+[タ])}{[チ]} \]
である．ただし$[セ]<[タ]$となるように表しなさい．