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群馬大学 国立 群馬大学 2013年 第5問
座標平面において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$,$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる.$C$の上半円周($y$座標が正の部分)上を動く点を$\mathrm{P}$,下半円周($y$座標が負の部分)上を動く点を$\mathrm{Q}$とする.$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\alpha \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$,$\displaystyle \angle \mathrm{QAB}=\beta \ \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とし,直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,\ 0)$とする.

(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき,$t$を$\alpha$を用いて表せ.
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