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倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2015年 第6問
$150$個の整数$2^1,\ 2^2,\ \cdots,\ 2^{150}$に対して,次の設問に答えよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.

(1)最下位の数字が$2$になるものは何個あるか.
(2)$2^{150}$は何桁の数か.
(3)最上位の数字が$1$になるものは何個あるか.
信州大学 国立 信州大学 2014年 第4問
次の各問いに答えよ.

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$,$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような,$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ.

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する.

(2)$n$を$0$以上の整数とする.$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に,最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか.ただし,$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい.

注:例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり,$14225$の最上位の桁の数字は$1$である.
信州大学 国立 信州大学 2014年 第2問
次の各問いに答えよ.

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$,$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような,$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ.

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する.

(2)$n$を$0$以上の整数とする.$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に,最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか.ただし,$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい.

注:例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり,$14225$の最上位の桁の数字は$1$である.
信州大学 国立 信州大学 2014年 第3問
次の各問いに答えよ.

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$,$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような,$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ.

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する.

(2)$n$を$0$以上の整数とする.$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に,最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか.ただし,$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい.

注:例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり,$14225$の最上位の桁の数字は$1$である.
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