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立教大学 私立 立教大学 2016年 第2問
$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を実数とし,$b>0$,$e>0$とする.座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$,$\mathrm{C}(c,\ d,\ e)$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で作られる三角錐$\mathrm{OABC}$において,
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{OB},\quad \cos \angle \mathrm{OBA}=\frac{4}{5},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{OC}=9 \]
であるとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.さらに点$\mathrm{B}$の座標を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{D}$とする.線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ.さらに,点$\mathrm{D}$の座標を求めよ.
(3)点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり,下図のように線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.辺$\mathrm{DE}$,$\mathrm{BF}$の中点を,それぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ.
(2)$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする.$\cos \theta$の値を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ.
(4)三角錐$\mathrm{FGMN}$において,三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ.
(5)三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2014年 第1問
$t$は実数で$0<t<2$とする.図のように,$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり,辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき,以下の問に答えよ.
(図は省略)

(1)線分$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QB}$の長さを,それぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ.
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2014年 第1問
$t$は実数で$0<t<2$とする.図のように,$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり,辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき,以下の問に答えよ.
(図は省略)

(1)線分$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QB}$の長さを,それぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ.
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2014年 第3問
一辺の長さが$x$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面,点$\mathrm{O}$を頂点とし,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$である三角錐$\mathrm{OABC}$に半径$1$の球が内接しているとする.ただし,球が三角錐に内接するとは,球が三角錐のすべての面に接することである.このとき,次の問に答えよ.

(1)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ.
(2)この体積の最小値と,そのときの$x$の値を求めよ.
大阪教育大学 国立 大阪教育大学 2013年 第3問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える.線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{B}^\prime$,線分$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}^\prime$とし,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}^\prime$,$\mathrm{C}^\prime$を通る平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{D}^\prime$とする.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD^\prime}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の何倍か.
(3)三角錐$\mathrm{AOB}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は,三角錐$\mathrm{AOBD}$の体積の何倍か.
(4)四角錐$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は,四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積の何倍か.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第2問
空間に点$\mathrm{O}$と三角錐$\mathrm{ABCD}$があり,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1,\ \mathrm{OD}=\sqrt{5}$,$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしている.三角錐$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径を求めよ.
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「三角錐」とは・・・

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