次の問いに答えよ．

(1)$i$を虚数単位とする．等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

$a,\ b$を正の定数とする．曲線$y=e^{-ax}\sin bx \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$\displaystyle I=\int e^{-x}\sin x \, dx,\ J=\int e^{-x}\cos x \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

関数
\[ y=-3 \sin^2 \theta-\cos^2 \theta-\sqrt{3}\sin 2\theta+2 \sqrt{3}\sin \theta+2 \cos \theta+1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta$とおくとき$t$の動く範囲を求めよ．
(2)関数$y$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$y$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ，$A$，$B$，$C$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ，$2$，$3$，$4$とする．$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\tan A}$の値を求めよ．

$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5} \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，
\[ \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}+\frac{\sin^2 \theta-\cos^2 \theta}{1+2 \sin \theta \cos \theta}+\frac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta} \]
の値を求めよ．

$10 \cos^2 \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0$のとき，$|\tan \theta|$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．

$\displaystyle \sin \theta +\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \theta>\cos \theta$のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．